说明集合的方法有两种：

我们用p(x)表示任何谓词，则{x|p(x)}可表示集合。如果p(b)为真，那么b∈A，否则b∉A

外延性原理：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员

两个集合A和B是相等的，记作A=B，两个集合不相等，则记作A≠B

集合的元素还可以允许是一个集合，例如：S={a,{1,2},p,{q}}。必须指出：q∈{q},但q∉S，同理1∈{1，2}，但1∉S

A⊆B：A是B的子集，或A包含在B内，或B包含A

A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)

根据子集的定义，显然有：

A⊆A(自反性)

(A⊆B)∧(B⊆C)⇒(A⊆C)(传递性)

集合A和集合B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集(★这个定理很重要，今后证明两个集合相等，主要利用这个互为子集的判定条件)

A⊂B：A为B的真子集

A⊂B⇔(∀x)(x∈A→x∈B)∧(∃x)(x∈B∧x∉A)

A⊂B⇔A⊆B∧A≠B

空集(Φ)：不包含任何元素的集合

对任意一个集合A，Φ⊆A

全集(E):对任一x∈A，因A⊆E，故x∈E

给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记为P(A)。

eg1.求幂集：{a,{a}}

解：{Φ，{a}，{{a}}，{a,{a}}}

eg2.求幂集：{{1，{2，3}}}

解：{Φ，{{1，{2，3}}}}

eg3.求幂集：P(P(Φ))

解：P(P(Φ))={Φ，{Φ}}，则幂集为{Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ，{Φ}}}

如果有限集合A有n个元素，则其幂集P(A)有2ⁿ个元素

S=A∩B={x|(x∈A)∧(X∈B)}

n个集合A₁,A₂,…,An的交可记为：

S=A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}

n个集合A₁,A₂,…,An的并可记为：

A⊆B，当且仅当A∪B=B或A∩B=A

S=A—B={x|x∈A∧x∉B}={x|x∈A∧¬(x∈B)}(属于前者而不属于后者)

~A=E—A={x|x∈E∧x∉A}

S=A⊕B=(A—B)∪(B—A)={x|x∈A 不可兼或 x∈B}（A与B的并集去掉A与B的交集）

一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系，记作。

eg.，，< 3，4>

序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a}，但对序偶≠

令A和B是任意两个集合，若序偶的第一个成员是A的元素，第二个元素是B的元素。所有这样的序偶集合，称为集合A和B的笛卡尔乘积或直积，记作A×B

A×B={|(x∈A)∧(x∈B)}

A={α,β},B={1,2,3}

A×B={,,,,,}

B×A={,,,,< 3,α>,< 3,β>}

(A×B)∩(B×A)=∅

可得出A×B≠B×A

若A=∅或B=∅，则A×B=∅

(A×B)×C≠A×(B×C)

设A,B,C为任意三个集合，即有：

若C≠∅,则A⊆B⇔(A×B⊆B×C)⇔(C×A⊆C×B)

任一序偶的集合确定了一个二元关系R，R中任一序偶可记作∈R或xRy。不在R中的任一序偶可记作∉R

前域：令R为二元关系，由∈R的所有x组成的集合dom R称为R的前域，即：dom R={x|(∃y)(∈R)}

值域：使∈R的所有y组成的集合ran R称作R的值域，即：ran R={y|(∃x)(∈R)}

域：R的前域和值域一起称作R的域，记作FLD R，即：FLD R=dom R∪ran R

设A={1，2，3，5}，B={1，2，4}，H={,,,< 3,4>}

解：dom H={1,2,3} ran H={2,4} FLD H={1,2,3,4} (重复多余的去掉)

设X={1，2，3，4}，求X上的关系>及dom>，ran>

解：>={,< 3,1>,< 3,2>,,,}

dom>={2,3,4},ran>={1,2,3}

A={1,2,3}， 则I(A)={,,< 3,3>}

eg.设A={1，2，3，4}，写出集合A上大于关系>的关系矩阵

解：>={,< 3,1>,< 3,2>,,,}

eg.设A={1，2，3，4，5}，在A上的二元关系R给定为：R={,,,< 3,1>,< 3,4>,}画出R的关系图

设R为定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x∈X，有xRx,则称二元关系R是自反的

R在X上自反⇔(∀x)(x∈X→xRx)

eg.A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,,< 3,3>}

则R₁不是自反的，R₂是自反的

对于每个x,y∈X，每当xRy,就有yRx，则称集合X上关系R是对称的(有则必须要有)

R在X上对称⇔(∀x)(∀y)(x∈X∧y∈X∧xRy→yRx)

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,,},R₃={,,}

R₁,R₂是对称的，R₃不对称

对于任意x,y,z∈X,每当xRy,yRz时就有xRz，称关系R在X上是传递的

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={},R₃={,,,}

R₁,R₂是传递的，R₃因没有,，所以不传递

对于每个x∈X，都有∉R,则R称作反自反的

R在X上反自反⇔(∀x)(x∈X→∉R)

一个不是自反的关系，不一定就是反自反的

除了外，不含有其他对称元素

A={1,2,3}

R₁={,},R₂={,},R₃={,,,}

R₁,R₂是反对称的，R₃不反对称

可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的；也可能既不对称，也不反对称

空集除了自反以外，其他性质都有

定义：设R为X到Y的关系，S为从Y到Z的关系，则R○S称为R和S的复合关系

eg.R={,< 3,4>,},S={,,< 3,1>,}

解：R○S={,< 3,2>,}

​ S○R={,< 3,2>,}≠R○S

​ (R○S)○R={< 3,2>}

​ R○(S○R)={< 3,2>}

​ R○R={,}

​ S○S={,< 3,3>,}

​ R○R○R={,}

R○R○R○R…○R○R(n个R相乘)=Rⁿ

复合关系也可用矩阵表示

定义：设R为X到Y的二元关系，如将R中每一序偶的元素顺序互换，所得到的的集合称为R的逆关系，记作R^c