难点十四:晶体的空间利用率和密度计算 |
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原子晶体、金属晶体、离子晶体,构成它们的原子或离子都以紧密排列的方式挨在一起,只要知道了原子或离子的排列方式和半径,就可以计算出晶胞中原子或离子的空间利用率,也可以计算出晶体的密度。 但分子晶体不同,分子之间并不是紧挨在一起,所以它们的空间利用率和密度,还需要知道分子的间距或晶胞的边长等,才能计算。 一、空间利用率的计算 1、空间利用率的计算式 若原子的半径为R,晶胞中原子有n个,立方晶胞的边长为a: 单个原子的体积为4πr3/3,立方晶胞的体积为a3。 则空间利用率为 2、各种晶胞的空间利用率计算 (1)金属晶体的简单立方 ①晶胞中原子数目计算:8×1/8=1。 ②空间利用率计算:设球的半径为r,则正方体的边长为2r。 原子的总体积为4πr3/3。正方体的体积为8r3。 空间利用率为 (4πr3/3)/(8 r3)=π/6=52.36% (2)金属晶体的体心立方 ①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+1=2。 ②空间利用率计算:在体心立方中,设为球半径为r, 则正方体的体对角线为4r。 又因为正方体的体对角线是边长的√3倍,则边长为4r /√3。 原子的总体积为2×4πr3/3,正方体的体积为64r3/3√3。 空间利用率为(2×4πr3/3)/(64r3/3√3)=π√3/8= 68.02% (3)金属晶体的六方堆积 左图的粉色区域代表一个晶胞 由于1个正六棱柱相当于3个晶胞,所以用六棱柱的1/3进行计算。 ①正六棱柱中原子数目计算:12×1/6+2×1/2+3=6。 则晶胞中的原子数目为6×1/3=2。 ②空间利用率计算:设球的半径为r,则面上正六边形的边长为2r。 正六棱柱的高的计算: 正六棱柱的高为两个边长为2r的正四面体的高。边长2r的正四面体的体高为2√6r/3,则正六棱柱的高为4√6r/3。 正六边形的面积为6×√3r2=6√3r2。 正六棱柱的体积为(6√3r2)×(4√6r/3)=24√2 r3。 晶胞体积为正六棱柱的1/3,为8√2r3。 原子的总体积为2×4πr3/3=8πr3/3。 空间利用率为(8πr3/3)/(8√2r3)=π/3√2= 74.05% (4)金刚石原子晶体的结构 ①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+6×1/2+4=8 ②空间利用率计算:根据两个C之间紧密相邻,若C的原子半径为r,则C-C为2r。 大立方体切8个小立方体,其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为4r(自己思考一下),则小立方体的边长为4r/√3。 求得大立方体的边长为8r/√3,体积为512r3/3√3。 大立方体内的碳原子数为8,碳原子的总体积为8×4πr3/3=32πr3/3。 所以空间利用率为(32πr3/3)/(512 r3/3√3)=π√3/16=34.01% 二、密度计算 密度的计算式为 晶体的密度有两种计算形式,一种是知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算,一种是知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算。 1、知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算 若晶胞为正方体,边长为a pm,含有b个分子,分子的相对分子质量为M,则密度的计算过程为(别记结论,学会计算过程) 晶胞的体积为:(a×10-12m)3= a3×10-36m3 晶胞中分子的总质量为:m=nM=(b/NA)M= bM/6.02×1023g ρ=M/V=(bM/6.02×1023g) /( a3×10-36m3)=(bM×1013)/(6.02×a3)g/m3 (1)CO2分子晶体的密度计算: 已知CO2分子晶体的结构如下图(面心立方),晶胞边长为572pm(计算数据)。 ①晶胞中的分子数目计算:8×1/8+6×1/2=4 一个晶胞中有4个CO2。 ②晶体密度计算: m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×44g/mol=2.9236×10-22g V=(572×10-12)3m3=1.8715×10-28m3 ρ=m/V=2.9236×10-22g /1.8715×10-28m3=1.562×106g/m3=1.562g/ cm3。 (2)Po(钋),相对原子质量为209,晶胞边长为336pm。 ①晶胞中原子数目计算:8×1/8=1。 ②密度计算: m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×209g/mol=3.472×10-22g V=(336×10-12)3m3=3.7933×10-29m3 ρ=m/V=3.472×10-22g /3.7933×10-29m3=9.153 ×106g/m3=9.153g/cm3 2、知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算 先用原子或离子的半径计算出晶胞的边长,然后再进行密度计算。 (1)Na的体心立方 Na的原子半径r=186pm。 ①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+1=2。 ②密度计算: 先计算晶胞的边长a:根据体对角线=√3a=4r, 边长a=4r/√3=4×186pm/√3=429.56pm。 m=nM=[2/(6.02×1023/mol)]×23g/mol=7.6412×10-23g V=(429.56×10-12)3m3=7.9263×10-29m3 ρ=m/V=7.6412×10-23g /7.9263×10-29m3=9.64 ×105g/m3=0.964g/cm3 (2)Zn的六方堆积: Zn的范德华半径为139pm。 ①正六棱柱中原子数目计算:12×1/6+2×1/2+3=6 ②密度计算:六方最密堆积不是正方体晶胞,不能用正方体的公式计算。 用上面的正六棱柱计算,正六棱柱的边长为278pm。 若边长为r,体积为24√2 r3。(计算式见空间利用率计算的(3)) V=24√2 r3=24√2×(139×10-12m)3=9.1153×10-29m3 m=nM=[6/(6.02×1023/mol)]×65.38g/mol=6.5163×10-22g ρ=m/V=6.5163×10-22g /9.1153×10-29m3=7.15 ×106g/m3=7.15g/cm3 (3)金刚石原子晶体的结构 ①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+6×1/2+4=8 ②密度计算:以金刚石结构为例,C的共价半径为77pm。 大立方体的边长为8r/√3,即355.65 pm。(计算式见空间利用率计算的(4)) m=nM=[8/(6.02×1023/mol)]×12g/mol=1.5947×10-22g V=(355.65×10-12)3m3=4.4985×10-29m3 ρ=m/V=1.5947×10-22g /4.4985×10-29m3=3.545 ×106g/m3=3.545g/cm3 (4)离子晶体的密度计算: ①NaCl:Na+的离子半径为95pm,Cl-的离子半径为181pm 晶胞边长的计算:2r(Na+)+2r(Cl-)=552pm。 其中含Na+4个,Cl-4个。 m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×23g/mol+[4/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=3.8837×10-22g V=(552×10-12)3m3=1.682×10-28m3 ρ=m/V=3.8837×10-22g /1.682×10-28m3=2.309×106g/m3=2.309g/cm3 ②CsCl:Cs+的离子半径为169pm,Cl-的离子半径为181pm。 晶胞边长的计算:[2r(Cs+)+2r(Cl-)]/√3=404.15pm。 其中含Cs+1个,Cl-1个。 m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×132.9g/mol+[1/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=2.7965×10-22g V=(404.15×10-12)3m3=6.6013×10-29m3 ρ=m/V=2.7965×10-22g /6.6013×10-29m3=4.236×106g/m3=4.236g/cm3 ③CaF2:Ca2+的离子半径为99pm,F-的离子半径为136pm。 右侧为晶胞的八分之一 晶胞边长计算为2{[2r(Ca2+)+2r(F-)]/√3}=542.71pm。 其中含Ca2+4个,F-8个,则密度为 M=nm=[4/(6.02×1023/mol)]×40g/mol+[8/(6.02×1023/mol)]×19g/mol=5.1827×10-22g V=(542.71×10-12)3m3=1.5985×10-28m3 ρ=m/V=5.1827×10-22g /1.5985×10-28m3=3.242×106g/m3=3.242g/cm3 【练习】 1、求金属晶体的面心立方的空间利用率,写出详细解题过程。 2、Ag的面心立方堆积,已知,Ag的原子半径为144pm。求Ag的密度,写出详细解题过程。 【练习答案】 1、①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+6×1/2=4。 ②空间利用率计算:设球半径为r,则正方体的面对角线为4r。 又因为正方体的面对角线是边长的√2倍,则正方体的边长为2√2r。 原子的总体积为4×4πr3/3=16πr3/3,正方体的体积为16√2r3。 空间利用率为(16πr3/3)/(16√2 r3)=π/3√2= 74.05% 2、①晶胞中的原子数目计算:8×1/8+6×1/2=4。 ②密度计算: 先计算晶胞的边长a:根据面对角线=√2a=4r, 边长a=4r/√2=4×144pm/√2=407.29pm。 m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×108g/mol=7.1761×10-22g V=(407.29×10-12)3m3=6.7563×10-29m3 ρ=m/V=7.1761×10-22g /6.7563×10-29m3=1.062 ×107g/m3=10.62g/cm3 (责任编辑:化学自习室) |
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