复分析(4) |
您所在的位置：网站首页 › 短途旅行带什么零食 › 复分析(4) |
复分析(4)
提到复变函数的级数理论，就不得不回顾我们数学分析中的级数理论。在数分中的很多定理和推论在复分析中也非常的适用。下面就介绍一下这篇文章的主要内容： 复习数学分析中的级数理论级数的基础概念和性质正项级数的判敛法变号级数的判敛法复习级数的代数运算性质结合律交换律分配律复习数学分析中的函数项级数函数项级数的极限引理函数项级数的连续性函数项级数的可积性函数项级数的可导性复习函数项级数的判敛法复变函数的级数理论相关例题复习数学分析中的级数理论级数的基础概念和性质  级数基础定义Cauchy准则  重要推论  注意到这个推论一般不是从正面使用，而往往是为了论证一个级数不收敛而在该数列的某个子列下不收敛到0，从这个角度看来用 \sum_{i=1}^{+\infty}{\frac{1}{k}} 这个反例就可以轻松说明上述推论逆命题不成立。 正项级数及其判敛法 第一比较原理  第二比较原理  三种判别法  达朗贝尔判别法 柯西根值判别法 拉比判别法变号级数及其判敛法 定理4.1如果变号级数绝对收敛那么其收敛这个定理说明如果 \sum_{n=1}^{\infty}{|a_n|} 可以用正项级数的两个比较定理或者三个判敛法来说明其收敛，那么就可以说明这个变号级数 \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} 收敛 三种判敛法  狄利克雷判敛法 莱布尼茨交错级数判敛法 阿贝尔判敛法级数的代数运算性质结合律  注意到反之不成立的反例是： \sum_{n=1}^{\infty}{\left( -1 \right) ^n} 交换律  针对交换律可以引出如下的黎曼定理  这是一个非常有意思的结论，大致意思可以归纳为，如果级数条件收敛那么经过一定的交换可以使其收敛到任意一个实数或者正负无穷。 分配律 在介绍分配律之前先介绍一个定义  柯西乘积然后我们来看分配律  这里的分配律是在后面的复变函数的泰勒展开和洛朗展开中比较常用的方法。 函数项级数首先来看几个基础定义  同时我们也要注意，在部分和函数列和原函数列之间存在下面的关系；  一致收敛和柯西准则  一致收敛 柯西准则 柯西准则的等价命题我们数分老师说过一句话来评价柯西准则：”准则和定理是用来干啥的，就是比定义更好用的结论“。我个人认为这句话讲的应该是一些定理和准则比单纯的定义更好适用于做题或者研究。 下面引出两个推论：  这里的优级数判别法就是后面我们要讲的M判别法的前身。 极限引理  关于极限引理可以简述为：每个 u_k(x) 收敛到 a_k + \sum_{n=1}^{\infty}{u_k\left( x \right)} 一致收敛= \sum_{n=1}^{\infty}{a_k} 一致收敛+极限符号可以穿过级数求和符号 从我个人的观点来看，其实从这里就可以看出来，无论是连续、可导还是可积都是从极限演变而来，可以说对于函数项级数，上述极限引理本质上是最基础的一个理论。 连续性  连续性可以简述为：每个 u_k(x) 连续+ \sum_{n=1}^{\infty}{u_k\left( x \right)} 一致收敛=u(x) 连续 可积性  可积性可以简述为：每个 u_k(x) 可积+ \sum_{n=1}^{\infty}{u_k\left( x \right)} 一致收敛=u(x) 可积+积分号可以穿过级数的求和符号 可导性  可导性可以简述为：每个 u_k(x) 可导+\exists c,s.t. \sum_{n=1}^{\infty}{u_k\left( c \right)} 一致收敛+ \sum_{n=1}^{\infty}{u'_k\left( x \right)} 一致收敛= \sum_{n=1}^{\infty}{u_k\left( x \right)} 一致收敛+u(x) 可导+求导符号可以穿过级数求和符号 函数项级数的判敛法 迪尼定理  三种判敛法  优级数判敛法 狄利克雷判敛法 阿贝尔判敛法复变函数的级数理论在这个部分中有一部分内容是和上面复习的数学分析中的级数收敛是完全一致的，就不再继续说明，只是简要提及。 复数列的极限 \{\alpha_n\} 是一复数列，其中 \alpha _n=a_n+ib_n 设 \alpha =a+ib 若 \lim_{n\rightarrow \infty}\alpha _n=\alpha \Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b 复数项级数的收敛性质 \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha _k}=\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n+ib_n \right)} 收敛于 \alpha =a+ib 的充要条件为 \sum_{n=1}^{\infty}{a_k},\sum_{n=1}^{\infty}{b_k} 分别收敛于 a,b Cauchy准则 这个性质的内容和数学分析中的一样，但是有一个重要的推论 \lim_{n \rightarrow \infty}{\alpha_n}\ne0\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n}发散 绝对收敛和条件收敛 定义和数分中的完全一样，也是有一个重要的结论 \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_k}绝对收敛\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{a_k}和\sum_{n=1}^{\infty}{b_k}绝对收敛 运算性质 在复变函数的级数运算中主要强调交换律和分配律(也就是柯西乘积) 复函数项级数的定义  \varepsilon-N 语言  一致收敛（以及不一致收敛）  Cauchy一致收敛准则（以及不一致收敛）  M判别法  M判别法把判别复变函数的一致收敛性转化为判别正项级数的收敛性，实现后者比较容易M判别法也可以说明绝对收敛性连续性  可积性  下面说明一下内闭一致收敛的概念  W定理（可微性）  可以看到这里W定理中关于复变函数列要求的条件就要弱于数分中对于实函数列所要求的条件，而且所得到的结论也更好。W定理可以简述为： f_n\left( z \right) 解析+ \sum_{n=1}^{\infty}{f_n\left( z \right)} 内闭一致收于 f(z) = f(z) 解析+ \sum_{n=1}^{\infty}{f^{(m)}_n(z)} 内闭一致收于 f^{(m)}(z) 相关例题 \text{令}c_n=a_n+ib_n \sum{c_n},\sum{c_{n}^{2}}\text{收敛}\Longrightarrow \sum{a_n},\sum{b_n,\sum{\left( a_{n}^{2}-b_{n}^{2} \right)},\sum{a_nb_n}}\text{收敛} \sum{a_n}\text{收敛,}a_n>0\Longrightarrow \sum{a_{n}^{2}}\text{收敛} \sum{a_{n}^{2}},\sum{\left( a_{n}^{2}-b_{n}^{2} \right)}\text{收敛}\Longrightarrow \sum{b_{n}^{2}}\text{收敛} \sum{a_{n}^{2}},\sum{b_{n}^{2}}\text{收敛}\Longrightarrow \sum{\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right)}=\sum{|c_{n}^{2}|}\text{收敛} Q.E.D  (1)的解答 \text{将该级数拆成两个部分}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n^3},\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{3^nz^n}}} \text{由优级数判别法知|}\frac{z^n}{n^3}|\le \frac{|z|^n}{n^3}\le \frac{1}{n^3},|\frac{1}{3^nz^n}|\le \frac{1}{3^n|z|^n} |
【本文地址】
今日新闻 |
点击排行 |
|
推荐新闻 |
图片新闻 |
|
专题文章 |