高等代数章节总结（特征值和相似标准型）

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高等代数章节总结（特征值和相似标准型）

2024-07-09 13:40:39| 来源: 网络整理| 查看: 265

前言：本次梳理主要以结论和例题为主，结论也不再此处证明，如有需要可以在评论区询问，我会给出证明。基础概念不再赘述，但是概念中需要注意和辨析的点会有偶尔涉及。本文适合相应知识已经掌握到一定程度的看官，因为这篇总结的本质是我欲把所有学过的结论归归类，所以会出现章节穿插内容。以上都OK我们就开始吧。一、特征值与特征向量向量特征多项式

首先是关于特征值的结论：

方阵才能有特征值，所以像“任何矩阵都有特征值”这种话错的显而易见。特征值可以为0。n阶方阵A可逆 $eq?%5CLeftrightarrow$ 0不是A的特征值。一个方阵在复数域上一定有特征值，但是在实数域上不一定。（特别重要的一句话，点名了秩的作用。一个特征值可以有多个特征向量。

所以接下来给出有关特征向量的结论：

特征向量不能是0向量。矩阵A的属于同一个特征值的多个特征向量的线性组合不一定仍是该特征值的特征向量，必须保证组合之后不能是0向量。矩阵A的不同特征值的特征向量和一定不是该矩阵的特征向量。

而特征值与特征向量是用特征多项式求出来的

所以接下来是跟特征多项式有关的结论：

$eq?%5Cleft%20%7C%20%5Clambda%20I_%7Bn%7D-%20A%20%5Cright%20%7C$ 是特征多项式，不是一个矩阵。特征多项式的最高次数就是该矩阵的阶数。相似的矩阵有相同的特征多项式，但是特征多项式相同的矩阵不一定相似。由2可得到推论：特征多项式和基或表示矩阵的选取无关。特征多项式也是A的一个零化多项式。（Cayley- Hamilton定理）（注：这个定理的证明不仅仅是将A带入即可，需要漫长的证明，引起重视）。特征多项式和极小多项式有相同的根。极小多项式是特征多项式的因式。特征多项式和极小多项式不会随着域的扩大而改变。所以下图的话是正确的。

一个多项式矩阵的所有不变因子的乘积是特征多项式。将特征多项式写成 $eq?%5Cleft%20%7C%20%5Clambda%20I_%7Bn%7D-%20A%20%5Cright%20%7C%3D%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7B1%7D%29%5E%7Bk_%7B1%7D%7D%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7B2%7D%29%5E%7Bk_%7B2%7D%7D......%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7Bs%7D%29%5E%7Bk_%7Bs%7D%7D$ ， $eq?k_%7Bi%7D$ 就是相应特征值的代数重数，代数重数同时也等于等于以 $eq?%5Clambda%20i$ 为特征值的所有若当块的阶数之和，同时也是以A为表示矩阵的线性变换 $eq?%5Cvarphi$ 的属于特征值 $eq?%5Clambda%20_%7Bi%7D$ 的根子空间的维数大小。如果复数域上的n阶方阵的特征多项式可以分解为n个不同一次因式的乘积，那么这个矩阵一定可以对角化。

好，我们接下来就说说对角化的结论

二、对角化

声明：实矩阵在实数域上不一定能对角化如极小多项式为 $x^{2}+1$ 的实矩阵只能在复数域上可对角化。所以接下来的数域默认为复数域。

充分不必要条件：有n个互不相同的特征值。充要条件：有n个线性无关的特征向量。（这个是最基础的） $eq?%5Cvarphi$ 是线性空间V上的线性变换，若V可以分解成特征子空间的直和，线性变换在V中任意一组基下的表示矩阵是可对角化的。（注：每个特征子空间都是线性变换 $eq?%5Cvarphi$ 的不变子空间）某个特征值的代数重数=几何重数。（一般情况下代数重数大于几何重数,所以如果有一个命题说该矩阵所有特征值的代数重数为1，这个矩阵一定可以对角化，这个其实挺好想的）如果 $eq?%5Cvarphi$ 是域F上n维线性空间上的线性变换，若 $f_{\varphi }\left ( x \right )$ 在域F上有标准分解式 $f_{\varphi }\left ( x \right )=(\lambda -\lambda _{1})^{r_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{r_{2}}......(\lambda -\lambda _{s})^{r_{s}}$ $\sum_{i=1}^{s}(n-rank(\lambda _{I}I_{v}- A ))=n$ (这里的A指的是 $eq?%5Cvarphi$ 的表示矩阵，而且 $(n-rank(\lambda _{I}I_{v}- A ))$ 其实是几何重数） $\sum_{i=1}rank(\lambda _{I}I_{v}- A )=(s-1)n$ 所有约当块都是1阶的。（其实是3的推广）A的特征矩阵的初等因子全是一次因式。A的极小多项式无重根。（其实5，6，7是一个说法）A的极小多项式在复数域上一定可以分解成不同的一次因式的乘积，即可以表示成 $eq?m%5Cleft%20%28%20x%20%5Cright%20%29%3D%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7B1%7D%29%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7B2%7D%29......%28%5Clambda%20-%5Clambda%20_%7Bs%7D%29$

那接下来就说说关于极小多项式的结论。

若x-a是极小多项式的k重因式，那么A的若当标准型中以a为主对角元的若当块的阶数为t。极小多项式就是次幂最大的不变因子。两个矩阵的极小多项式和特征多项式分别相等，它们不一定相似；两个矩阵的特征多项式相等，且都等于极小多项式，两个矩阵也不一定相似。如果矩阵的阶数不超过3，则特征多项式和极小多项式分别相等的两个矩阵一定相似。0向量生成的 $\varphi-$ 循环子空间的维数等于0向量的 $\varphi-$ 极小多项式的次数。设 $eq?%5Cvarphi$ 是域F上n维线性空间V上的线性变换，则“ $eq?%5Cvarphi$ 的特征多项式等于极小多项式”是“存在V中向量 $eq?%5Calpha$ ，使得V恰好是 $eq?%5Calpha$ 生成的 $eq?%5Cvarphi$ 循环子空间（此时称V为循环子空间， $eq?%5Calpha$ 是循环型向量）”的充要条件。

证明： $eq?f_%7B%5Cvarphi%20%7D%28x%29%3Dm_%7B%5Cvarphi%20%7D%28x%29%3D%5Clambda%20%5E%7Bn%7D+b_%7Bn-1%7D%5Clambda%20%5E%7Bn-1%7D+......+b_%7B1%7D%5Clambda%20+b_%7B0%7D$

易知上式的友阵为 $eq?F%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%26%20%26%20%26%20%26-b_%7B0%7D%20%5C%5C%201%26%200%26%20......%26%20%26%20-b_%7B1%7D%5C%5C%20%26%201%26%20%26%20%26%20......%5C%5C%20%26%20%26%20......%26%200%26-b_%7Bn-2%7D%5C%5C%20%26%20%26%20%26%201%26-b_%7Bn-1%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D$

$eq?%5Ctherefore$ V的一组基 $eq?%5Calpha_%7B1%7D%20%5Calpha_%7B2%7D%20......%5Calpha_%7Bn%7D$ ,有 $eq?%5Cvarphi%20%28%5Calpha_%7B1%7D%20%5Calpha_%7B2%7D%20......%5Calpha_%7Bn%7D%20%29%3D%28%5Calpha_%7B1%7D%20%5Calpha_%7B2%7D%20......%5Calpha_%7Bn%7D%20%29F$

令 $eq?%5Calpha%20%3D%5Calpha%20_%7B1%7D$ ，则可以得到 $eq?%5Calpha%20%3D%5Calpha%20_%7B1%7D%2C%5Cvarphi%20%28%5Calpha%20%29%3D%5Calpha%20_%7B1%7D%2C......%2C%5Cvarphi%20%5E%7Bn-1%7D%28%5Calpha%20%29%3D%5Calpha%20_%7Bn%7D$ 为V的一组基。（每一步都是充要的所以条件和结论也充要）

上面引入了友阵，我们接下来就说说友阵。

任何一个多项式都有友阵。n阶友阵的秩只有r/r-1两种可能性。友阵的行列式因子为1,......1,f(λ)，1的个数为r-1。由1可知，每一个不变因子都有一个友阵。而每一个不变因子的友阵就是A的有理标准型的有理块。

所以接下来说一说有理标准型：

有理标准型形相等的两个矩阵一定相似。矩阵A的有理标准形是一个准对角阵，每一个对角块都是相应不变因子的友阵。

所以接下来说不变因子：

三、矩阵的不变因子、初等因子（行列式因子不再进行赘述）不变因子蕴含矩阵秩的信息，有多少个不变因子矩阵的阶数就是多少。(这里的不变因子包含1)最高次幂的不变因子就是矩阵的极小多项式，而不变因子的乘积就是特征多项式。如果极小多项式＝矩阵阶数，那么不变因子只有m(x)这一个非1不变因子。若两个矩阵有相同的不变因子，两个矩阵不一定相抵（必须要求两个矩阵的形状一样）。不变因子能确定初等因子，但是反过来单单凭借初等因子不能确定不变因子。

所以接下来给出关于初等因子的结论。

矩阵的初等因子的个数不蕴含秩的信息。即使非零多项式矩阵有相同的初等因子，他们也不一定相抵。初等因子可以确定矩阵的若当标准型。

好，我们接下来就说说Jordan标准型。

四、Jordan标准型运用若当块，我们可以得到复数域上某个线性空间的代数重数=根子空间的维数。某个特征值的几何重数等于若当块个数。如果若当块个数为矩阵阶数，这个是一定能对角化的矩阵。若J为A的若当标准型，则有如下性质： J中以 $\mu$ 为主对角元素的若当块个数 $N_{\mu }=n-rank(A-{\mu}I_{n})$ J中以 $\mu$ 为主对角元素的k若当块个数 $N_{\mu }(k)=n-rank(A-{\mu}I_{n})^{k-1}+rank(A-{\mu}I_{n})^{k-1}-2rank(A-{\mu}I_{n})^{k}$ 约当标准型相同的矩阵一定相似。

所以我们接下来说说矩阵的相似。

五、矩阵的相似必要不充分条件（换句话说就是相似矩阵的性质）相似矩阵行列式相等。相似矩阵迹相等。相似矩阵特征值相等。相似矩阵极小多项式相同。相似矩阵的秩相等。相似矩阵的初等因子相同。

注意：以上经常和相似的传递性混在一起使用，所以要注意不能只把目光放在两个矩阵之间。

充要条件两个矩阵的若当标准型相等。两个矩阵特征值相同而且都可以对角化（这里不要求同时对角化）。两个矩阵的特征矩阵有如下性质：特征矩阵相抵（指的是 $\lambda I_{n}-A$ 一类的矩阵)有相同的Smith标准型。有相同的各阶行列式因子。有相同的不变因子。有相同的初等因子。其他结论同一线性变换在不同基下的表示矩阵相似。矩阵相似是一定相抵的但是相抵不一定相似。如果一个k矩阵是这个样子的： $A=\begin{pmatrix} 0& & & \\ 1& 0& ......& \\ & 1& & \\ & & ......& 0\\ & & & 1\end{pmatrix}$ ，那么 $A^{k}=0$ ，而且这个1所在的这个斜线是逐层往下移的。相似的矩阵一定相抵，相抵的矩阵不一定相似。

所以我们接下来说说矩阵的相抵。

六、多项式矩阵的相抵（数字矩阵的不再进行研究）充要条件： Smith标准型相同各阶行列式因子相同不变因子相同代值一样。七、二级结论 (1)同时对角化：

注意，AB=BA这是同时对角化的充分必要条件。

而线性变换的表示形式为：

(2)幂零矩阵、幂等矩阵、幂幺矩阵：幂等矩阵一定可以对角化。（而且幂等矩阵的极小多项式是 $m(x)=x^{2}-tr(A)x$ )幂幺矩阵一定可以对角化（复数域上,n次单位根那个东西）。幂零矩阵不可以对角化。 (3)秩为1的矩阵

结语：其实这个里面还有很多没有罗列出来的习题，准备下一篇写习题专题。觉得有用就点个赞吧！！！

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