线性代数高级 |
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目录 矩阵的秩 概念 k阶子式 矩阵的秩的定义 矩阵的秩的性质 SVD分解 概念 注意 SVD的分解过程 SVD分解的应用 矩阵的秩 概念矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念,用于描述矩阵的行(或列)向量的线性无关程度。矩阵的秩可以通过多种方法来确定,其中最常用的是高斯消元法或奇异值分解(SVD)。 对于一个m×n的矩阵,其秩的定义是矩阵中线性无关的行(或列)向量的最大个数。换句话说,秩是指矩阵中非零行(或列)向量的最大线性无关组的大小。 k阶子式在mxn矩阵A中,任取k行k列(1≤k≤min{m,n}),位于这些行列交叉处的k^2^个元素, 按照它们在A中所处的位置所构成的k阶行列式叫做矩阵A的一个k阶子式。
注意 行列式是由一些数值排列成的数表按一定的法则计算得到的一个数行列式的行数和列数是相等的mxn矩阵A的k阶子式共有C~m~^k^C~n~^k^个 矩阵的秩的定义如果在矩阵A中有一个r阶子式D的值不等于零,而所有r+1阶子式(如果存在的话)的 值都等于零,则称数r为矩阵A的秩,记作R(A)。规定零矩阵的秩为0。 矩阵的秩的性质 R(A)=R(A^T^)一个矩阵的行秩和列秩相等,因此通常只谈论矩阵的秩而不区分行秩和列秩。R(A~mxn~) ≤ min(m,n)任意一个矩阵的秩不会超过其行数或列数(较小的那个)。如果一个矩阵的秩等于其行数或列数(较小的那个),则该矩阵被称为满秩矩阵。对于n阶方阵A,若|A|≠ 0,有R(A)=n,则称A为满秩矩阵;若|A|= 0,则R(A) |
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