已知：3x3矩阵A如下图所示

令b等于0，得到齐次方程组Ax=0。

求解步骤如下： 

1，先把原始矩阵A化简到最简阶梯形矩阵R(Reduced row echelon  form)。即，令矩阵主对角线位置的主元为1，主元上下全部消为0。

2，对不满秩矩阵R(即，的方程组)，基于矩阵的维数n，矩阵的秩r(Rank)求出特解的个数=n-r(对于mxn矩阵而言)。确定主元列和主元变量，自由列和自由变量。

3，逐个的令某一个自由变量为1，剩下的自由变量为0，代入方程组Rx=0，求出一个特解。

4，每执行一次第三步操作，就会得到一个对应的特解，最终得到n-r个特解(special solution)。线性方程组Ax=0的所有解，就是这n-r个特解的线性组合。

这个解的集合就是矩阵A的零空间(Nullspace)。 

 求解步骤如下：

其中，第一，二步的做法和之前相同

        不同之处在于这第三步，消元得到最简阶梯型R以后，并没有把自由变量指定为某一常数。而是把矩阵R改写成方程组的形式后，求出主元变量x1和x2的代数解，即用x3来表示x1，x2。 

         把x1,x2,x3都回填到向量x中，得到最终解。这个解和前面用数值算法得到的结果一样，但就目前看来，数值算法要简单一些。

 下为教科书中的部分截图，可供参考：

假设b未知，令向量b中的元素为代数b=[b1, b2, b3] 

 Ax=b的求解步骤如下：

1，对原始矩阵A的增广矩阵消元，得到阶梯型矩阵U。这里和之前求Ax=0的消元过程相同，只不过多了右边的b向量。

此外，基于消元后矩阵U的最后一行的关系，还会得到一个约束方程，这个方程在后面有用。

 2， 把矩阵U改写成方程组的形式后，求出主元变量x1和x2，即用x3来表示x1，x2的代数解。 

 3，把x1,x2,x3都回填到向量x中，得到x的代数解。其中前半部分(下图中画红圈的部分)和前面求Ax=0时得到的解一样，后面部分多了一个用b1,b2,b3表示的新向量。这样看来，Ax=b的解实际上就是Ax=0的解和一个新向量的和。这个新向量是Ax=b的一个特解。

 4，依据之前的约束方程选择合适的b1,b2,b3得到Ax=b的特解，这里选择了b=[1 2 1]。

代入特解向量，得到： 

 加上Ax=0的通解，也得到了Ax=b的全部解。

Check(验证计算结果):

总体思路：

         基于前面的求解过程，我们已经得出：Ax=b的完整解，等于Ax=0的通解和Ax=b的特解之和。令：

其中，为Ax=0的通解，为Ax=b的特解。

分别求解这两个x：

合并两个x，得到完整解：  

Ax=b的求解步骤：

1,对原始矩阵A消元，得到阶梯型矩阵U。（注意：这里的U不是最简阶梯型矩阵，不同于上面的矩阵R）。

 2，令自由变量为0，求解Ux=c，得到一个的特解。

3，化简Ax=0到最简阶梯型矩阵R，并求出Ax=0的所有解，他是n-r个特解的任意一个线性组合。

4，Ax=b的完整解，等于Ax=b的一个特解加上Ax=0的特解的任意一个线性组合。

        有兴趣的读者可以试一下，如果这里令b=[1 2 1]，那么得到的结果会和前面那个代数解法的结果一致。

  下为教科书截图，可供参考： 

 (全文完) 

作者 --- 松下J27

古诗词赏析：

《登鹳雀楼》

王之涣

白日依山尽，黄河入海流。 欲穷千里目，更上一层楼。

参考文献（鸣谢）：

1，Linear Algebra and Its Applications - 4th Edition,Gilbert Strang

 (*配图与本文无关*) 

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