宋浩线性代数笔记（五）矩阵的对角化

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宋浩线性代数笔记（五）矩阵的对角化

2024-07-16 04:45:08| 来源: 网络整理| 查看: 265

本章的知识点难度和重要程度都是线代中当之无愧的T0级，对于各种杂碎的知识点，多做题+复盘才能良好的掌握，良好掌握的关键点在于：所谓的性质A与性质B，是谁推导得谁~

5.1矩阵的特征值和特征向量

5.2特征值和特征向量的性质

5.3相似矩阵and矩阵可对角化的条件

5.4实对称矩阵的对角化

5.5正交矩阵

考研数学一大纲中的内容要求如下：

考试要求:

1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.

2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.

3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

5.1矩阵的特征值和特征向量 A为n阶方阵，存在非0列向量拉姆达，若有A*阿尔法=拉姆达*阿尔法，则拉姆达为1个特征值，则阿尔法为拉姆达对应的特征向量~注意，拉姆达可以为0但阿尔法不能为0，且阿尔法必须为列向量~拉姆达*E-A，被称为特征矩阵特征值拉姆达对应的特征向量不是唯一，但一个特征向量对应的特征值唯一求解时，特征矩阵要尽量将某一行化为0，这样会易于展开在求解出来特征值后，将特征值拉姆达反向代入，求出特征方程的系数矩阵，然后化为行简化阶梯形，再写出同解方程组，找出自由未知量，写出一个基础解系，然后与特征值相乘~注意有重根时，要写成线性组合的形式 5.2特征值和特征向量的性质 A和A的转置有着相同的特征值，但是对应的特征向量未必相同~A有n个特征值L1~Ln，则L1~Ln的乘积即为A的行列式的值~L1~Ln的和，即为A的迹的值——所谓迹的值即为矩阵主对角线元素的积~若果有一个拉姆达的值为0，则|A|=0，也就说明此时矩阵不可逆（因为分母不能为0）~

当|A|！=0时：

A可逆r（A）=n，即为满秩行向量组or列向量组线性无关齐次方程Ax=0，只有0解~ n阶方阵A互不相同的特征值L1~Ln对应的特征向量a1~an线性无关K重特征值对应的线性无关的特征向量的个数

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