矩阵 A A A 可以通过特征值分解表示为 A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1，这里的 P P P 是由特征向量组成的矩阵，而 D D D 是对角矩阵，包含特征值。

因为 A − 1 A^{-1} A−1的特征值是 A A A特征值的倒数， A − 1 A^{-1} A−1的特征向量与 A A A特征向量一致，因此 A − 1 = P D − 1 P − 1 A ^{-1}= PD^{-1}P^{-1} A−1=PD−1P−1

下面证明 A − 1 A^{-1} A−1的特征值是 A A A特征值的倒数， A − 1 A^{-1} A−1的特征向量与 A A A特征向量一致： 要根据一个可逆矩阵(A)的特征值来推导其逆矩阵(A^{-1})的特征值，你可以遵循以下步骤：

理解特征值定义： 对于任何可逆矩阵 A A A和其特征值 λ \lambda λ，存在非零向量 v v v（即特征向量），满足以下关系： A v = λ v Av = \lambda v Av=λv

逆矩阵作用于特征向量： 假设 A A A是可逆的，那么它有一个逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，我们想要找到 A − 1 A^{-1} A−1的特征值。首先考虑 A − 1 A^{-1} A−1作用于 A A A的特征向量 v v v上： A − 1 ( A v ) = A − 1 ( λ v ) A^{-1}(Av) = A^{-1}(\lambda v) A−1(Av)=A−1(λv) 根据逆矩阵的定义，我们知道 A − 1 A = I A^{-1}A = I A−1A=I（单位矩阵），因此上式可以简化为： I v = λ A − 1 v Iv = \lambda A^{-1}v Iv=λA−1v 即： v = λ A − 1 v v = \lambda A^{-1}v v=λA−1v

推导逆矩阵的特征值： 上式可以重写为： A − 1 v = 1 λ v A^{-1}v = \frac{1}{\lambda}v A−1v=λ1​v 这表明对于矩阵 A A A的特征值 λ \lambda λ，其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1对应的特征值是 λ − 1 \lambda^{-1} λ−1或 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1​，且原矩阵的特征向量 v v v也是逆矩阵的特征向量。

总结：

如何构建 A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1：

组织特征向量: 首先确保每个特征值 λ i \lambda_i λi​ 都至少有一个对应的特征向量 v i v_i vi​，并且这些特征向量是线性独立的。如果矩阵 A A A 是 n × n n \times n n×n 的，则需要 n n n 个线性独立的特征向量。

构建对角矩阵: 创建一个对角矩阵 D D D，其对角线上的元素是矩阵 A A A 的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1​,λ2​,...,λn​。非对角线元素均为0。

构造基变换矩阵: 使用特征向量作为列构建一个矩阵 P P P，即每一列是对应的特征向量 v 1 , v 2 , . . . , v n v_1, v_2, ..., v_n v1​,v2​,...,vn​。矩阵 P P P必须是可逆的，因为特征向量是线性独立的。

利用特征值分解: 矩阵 A A A 可以通过特征值分解表示为 A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1，这里的 P P P 是由特征向量组成的矩阵，而 D D D 是对角矩阵，包含特征值。

如果矩阵 (A) 是实对称矩阵，特征向量自动正交且可以规范为单位向量，这样矩阵 (P) 就会是一个正交矩阵，此时 P − 1 = P T P^{-1} = P^T P−1=PT（(P) 的转置）。对于非对称矩阵，虽然过程相似，但需要注意的是 P P P不一定是正交矩阵，因此需要计算 P P P 的逆矩阵。