本章首先由倒数的概念，引申出逆矩阵的概念。接着讲解了利用行列式来计算二阶方阵逆矩阵的方法。接下来，讲解了可逆矩阵对应线性方程解的唯一性，以及可逆矩阵的几个有用的性质。本章的最后，讲解了计算逆矩阵的一种通用方法，即利用初等矩阵来计算逆矩阵。

假设有一个实数 5 5 5， 5 5 5的乘法逆是 1 / 5 1/5 1/5或 5 − 1 5^{-1} 5−1，它满足方程： 5 − 1 ⋅ 5 = 1 5^{-1} \cdot 5 = 1 5−1⋅5=1和 5 ⋅ 5 − 1 = 1 5 \cdot 5^{-1} = 1 5⋅5−1=1，矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立，所以当且仅当矩阵是方阵时，矩阵才有可能可逆（因为矩阵乘法要求左边矩阵的列等于右边矩阵的行，如果某个矩阵能同时满足左乘和右乘，那么只能是 n × n n \times n n×n方阵） 定义：

一个 n × n n \times n n×n矩阵 A A A是可逆的，若存在一个 n × n n \times n n×n矩阵 C C C，使得： C A = I CA = \boldsymbol I CA=I 且 A C = I AC = \boldsymbol I AC=I 其中 I = I n \boldsymbol I = \boldsymbol I_n I=In​是 n × n n \times n n×n单位矩阵。这时称 C C C是 A A A的逆。

实际上， C C C由 A A A唯一确定，因为若 B B B是另一个 A A A的逆，那么将有 B = B I = B ( A C ) = ( B A ) C = I C = C B=B \boldsymbol I = B(AC)=(BA)C=\boldsymbol I C = C B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。于是，若 A A A可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为 A − 1 A^{-1} A−1，于是： A − 1 A = I A^{-1}A = \boldsymbol I A−1A=I 且 A A − 1 = I AA^{-1} = \boldsymbol I AA−1=I 不可逆矩阵被称为奇异矩阵，而可逆矩阵也可称作非奇异矩阵。 例：

若 A = [ 2 5 − 3 − 7 ] A=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix} A=[2−3​5−7​], C = [ − 7 − 5 3 2 ] C=\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix} C=[−73​−52​]，则： A C = [ 2 5 − 3 − 7 ] [ − 7 − 5 3 2 ] = [ 1 0 0 1 ] AC = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} AC=[2−3​5−7​][−73​−52​]=[10​01​] C A = [ − 7 − 5 3 2 ] [ 2 5 − 3 − 7 ] = [ 1 0 0 1 ] CA=\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} CA=[−73​−52​][2−3​5−7​]=[10​01​] 所以， C = A − 1 C=A^{-1} C=A−1

定理：

设 A = [ a b c d ] A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} A=[ac​bd​]，若 a d − b c ≠ 0 ad - bc \neq 0 ad−bc​=0，则 A A A可逆且 A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix} A−1=ad−bc1​[d−c​−ba​] 若 a d − b c = 0 ad - bc = 0 ad−bc=0，则 A A A不可逆

定理的证明可以通过上述逆矩阵的定义公式来进行。数 a d − b c ad-bc ad−bc称为 A A A的行列式，记为： d e t   A = a d − b c det\,A = ad -bc detA=ad−bc 当且仅当 d e t   A ≠ 0 det\,A \neq 0 detA​=0时，上述 2 × 2 2 \times 2 2×2矩阵 A A A可逆。 例：

求 A = [ 3 4 5 6 ] A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix} A=[35​46​]的逆

解：

因为 d e t   A = 3 ( 6 ) − 4 ( 5 ) = − 2 ≠ 0 det\,A = 3(6)-4(5)=-2 \neq 0 detA=3(6)−4(5)=−2​=0，所以 A A A可逆，且： A − 1 = 1 − 2 [ 6 − 4 − 5 3 ] = [ − 3 2 5 / 2 − 3 / 2 ] A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}6 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 5/2 & -3/2\end{bmatrix} A−1=−21​[6−5​−43​]=[−35/2​2−3/2​]

定理：

若 A A A是可逆 n × n n \times n n×n矩阵，则对每一 R n \mathbb R^n Rn中的 b \boldsymbol b b，方程 A x = b A\boldsymbol x = \boldsymbol b Ax=b有唯一解 x = A − 1 b \boldsymbol x = A^{-1}\boldsymbol b x=A−1b

证明：

先证明 A − 1 b A^{-1}\boldsymbol b A−1b是方程的一个解： 因为 A A A可逆，那么若以 A − 1 b A^{-1} \boldsymbol b A−1b代替 x \boldsymbol x x，有： A x = A ( A − 1 b ) = ( A A − 1 ) b = I b = b A\boldsymbol x = A(A^{-1}\boldsymbol b) = (AA^{-1})\boldsymbol b = \boldsymbol I \boldsymbol b = \boldsymbol b Ax=A(A−1b)=(AA−1)b=Ib=b，所以 A − 1 b A^{-1}\boldsymbol b A−1b是方程的一个解。 再证明解的唯一性： 假设 u \boldsymbol u u是方程的任意一个解，那么有： A u = b A\boldsymbol u = \boldsymbol b Au=b，由于 A A A可逆，那么方程两边同时乘以 A − 1 A^{-1} A−1得： A − 1 A u = A − 1 b A^{-1}A\boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b A−1Au=A−1b，进一步推导有： I u = A − 1 b \boldsymbol I \boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b Iu=A−1b，也就是： u = A − 1 b \boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b u=A−1b 得证

上述定理很少用来解方程 A x = b A\boldsymbol x = \boldsymbol b Ax=b，因为 [ A b ] \begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix} [A​b​]的行化简通常更快。一个可能的例外是 2 × 2 2 \times 2 2×2矩阵，因为这时利用行列式计算 A − 1 A^{-1} A−1相对比较容易。 例：

求解方程组： 3 x 1 + 4 x 2 = 3 5 x 1 + 6 x 2 = 7 \begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ 5x_1 + 6x_2 = 7 \end{aligned} 3x1​+4x2​=35x1​+6x2​=7​

解:

x = A − 1 b = [ − 3 2 5 / 2 − 3 / 2 ] [ 3 7 ] = [ 5 − 3 ] \boldsymbol x = A^{-1}\boldsymbol b = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 5/2 & -3/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ -3\end{bmatrix} x=A−1b=[−35/2​2−3/2​][37​]=[5−3​]

简单证明上述第2个性质：

从逆矩阵定义出发，要证明 B − 1 A − 1 B^{-1}A^{-1} B−1A−1是 A B AB AB的逆矩阵，则要证明 A B AB AB左乘和右乘 B − 1 A − 1 B^{-1}A^{-1} B−1A−1的积都是 I \boldsymbol I I。以右乘为例： ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = A ( B B − 1 ) A − 1 = A I A − 1 = A A − 1 = I (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A\boldsymbol IA^{-1} = AA^{-1} = \boldsymbol I (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I。同理可以证明左乘的情况一样成立。

定义：

把单位矩阵进行一次初等行变换，就得到初等矩阵。

例：

下面 E 1 E_1 E1​是一个对应倍加变换的初等矩阵： E 1 = [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix} E1​=⎣⎡​10−4​010​001​⎦⎤​ 下面 E 2 E_2 E2​是一个对应对换变换的初等矩阵： E 2 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] E_2 = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} E2​=⎣⎡​010​100​001​⎦⎤​ 下面 E 3 E_3 E3​是一个对应倍乘变换的初等矩阵： E 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 5 ] E_3=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix} E3​=⎣⎡​100​010​005​⎦⎤​ 假设有一个矩阵 A = [ a b c d e f g h i ] A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix} A=⎣⎡​adg​beh​cfi​⎦⎤​，观察 E 1 A E_1A E1​A， E 2 A E_2A E2​A， E 3 A E_3A E3​A所起的作用。

解：

经过计算可知： E 1 A = [ a b c d e f g − 4 a h − 4 a i − 4 c ] E_1A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\g-4a & h-4a & i-4c \end{bmatrix} E1​A=⎣⎡​adg−4a​beh−4a​cfi−4c​⎦⎤​ E 2 A = [ d e f a b c g h i ] E_2A=\begin{bmatrix}d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} E2​A=⎣⎡​dag​ebh​fci​⎦⎤​ E 3 A = [ a b c d e f 5 g 5 h 5 i ] E_3A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\5g & 5h & 5i \end{bmatrix} E3​A=⎣⎡​ad5g​be5h​cf5i​⎦⎤​ 从上述可知，这些乘积可由 A A A进行 E i E_i Ei​暗含的初等行变换得到。

还需注意：

若对 m × n m \times n m×n矩阵 A A A进行某种初等行变换，所得矩阵可写成 E A EA EA，其中 E E E是 m × m m \times m m×m矩阵，是由 I m \boldsymbol I_m Im​进行统一行变换所得。

因为行变换是可逆的，故初等矩阵也是可逆的。若 E E E是由 I \boldsymbol I I进行行变换所得，则有同一类型的另一行变换把 E E E变回 I \boldsymbol I I。因此，由初等矩阵 F F F，使得 F E = I FE = \boldsymbol I FE=I。因为 E E E和 F F F对应于互逆的变换，所以也有 E F = I EF=\boldsymbol I EF=I。

每个初等矩阵 E E E是可逆的， E E E的逆是一个同类型的初等矩阵，它把 E E E变回 I \boldsymbol I I。

例：

求 E 1 = [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix} E1​=⎣⎡​10−4​010​001​⎦⎤​的逆。

解：

为把 E 1 E_1 E1​变成 I \boldsymbol I I，需要把第1行的4倍加到第3行，这相应于初等矩阵： F = E 1 − 1 = [ 1 0 0 0 1 0 4 0 1 ] F = E_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1\end{bmatrix} F=E1−1​=⎣⎡​104​010​001​⎦⎤​

定理：

n × n n \times n n×n矩阵 A A A是可逆的，当且仅当 A A A行等价于 I n \boldsymbol I_n In​，这时，把 A A A化简为 I n \boldsymbol I_n In​的一系列初等行比那换同时把 I n \boldsymbol I_n In​变成 A − 1 A^{-1} A−1

证明：

设 A A A是可逆矩阵，则对任意 b \boldsymbol b b，方程 A x = b A\boldsymbol x = \boldsymbol b Ax=b有解（参照本文前半段的定理），这就说明， A A A在每一行有一个主元位置。又因为 A A A是方阵，所以这 n n n个主元位置必在对角线上，相应的， A A A的简化阶梯形是 I n \boldsymbol I_n In​，即 A ∼ I n A \sim \boldsymbol I_n A∼In​。 反之，若 A ∼ I n A \sim \boldsymbol I_n A∼In​，则因为每一步行化简对应于左乘一个初等矩阵，所以存在初等矩阵 E 1 , ⋯   , E p E_1, \cdots, E_p E1​,⋯,Ep​，使得： A ∼ E 1 A ∼ E 2 ( E 1 A ) ∼ ⋯ ∼ E p ( E p − 1 ⋯ E 1 A ) = I n A \sim E_1A \sim E_2(E_1A) \sim \cdots \sim E_p(E_{p-1} \cdots E_1A)=\boldsymbol I_n A∼E1​A∼E2​(E1​A)∼⋯∼Ep​(Ep−1​⋯E1​A)=In​ 即： E p E p − 1 ⋯ E 1 A = I n E_pE_{p-1} \cdots E_1A=\boldsymbol I_n Ep​Ep−1​⋯E1​A=In​ 因为 E p ⋯ E 1 E_p \cdots E_1 Ep​⋯E1​是可逆矩阵的乘积，因此其也是可逆矩阵（这点可以参考上述的两点知识：1. 初等矩阵是可逆的；2. 如果两个矩阵是可逆的，那么两个矩阵的乘积也是可逆的），那么可以根据上式推出： ( E p ⋯ E 1 ) − 1 ( E p ⋯ E 1 ) A = ( E p ⋯ E 1 ) − 1 I n A = ( E p ⋯ E 1 ) − 1 \begin{aligned} (E_p \cdots E_1)^{-1}(E_p \cdots E_1)A &= (E_p \cdots E_1)^{-1}\boldsymbol I_n \\ A &= (E_p \cdots E_1)^{-1} \end{aligned} (Ep​⋯E1​)−1(Ep​⋯E1​)AA​=(Ep​⋯E1​)−1In​=(Ep​⋯E1​)−1​ 这说明了 A A A是可逆矩阵 E p ⋯ E 1 E_p \cdots E_1 Ep​⋯E1​的逆，又由于上述定理所述（可逆矩阵的逆矩阵也可逆），有： A − 1 = [ ( E p ⋯ E 1 ) − 1 ] − 1 = E p ⋯ E 1 A^{-1} = [(E_p \cdots E_1)^{-1}]^{-1} = E_p \cdots E_1 A−1=[(Ep​⋯E1​)−1]−1=Ep​⋯E1​

由上述定理的证明过程，自然而然可以引出计算矩阵逆矩阵的一种方法：

把 A A A和 I \boldsymbol I I排在一起构成增广矩阵 [ A I ] \begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix} [A​I​]，则对此矩阵进行行变换时， A A A和 I \boldsymbol I I收到同一变换。要么有一系列的行变换把 A A A变成 I \boldsymbol I I，同时把 I \boldsymbol I I变成 A − 1 A^{-1} A−1，要么 A A A是不可逆的。

精确描述如下：

把增广矩阵 [ A I ] \begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix} [A​I​]进行行化简。若 A A A行等价于 I \boldsymbol I I，则 [ A I ] \begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix} [A​I​]行等价于 [ I A − 1 ] \begin{bmatrix}\boldsymbol I & A^{-1}\end{bmatrix} [I​A−1​]，否则 A A A没有逆。

例：

求矩阵 A = [ 0 1 2 1 0 3 4 − 3 8 ] A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 8\end{bmatrix} A=⎣⎡​014​10−3​238​⎦⎤​的逆，假如它存在。

解：

[ A I ] = [ 0 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 0 4 − 3 8 0 0 1 ] ∼ [ 1 0 0 − 9 / 2 7 − 3 / 2 0 1 0 − 2 4 − 1 0 0 1 3 / 2 − 2 1 / 2 ] \begin{aligned} \begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ &\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -9/2 & 7 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & -2 & 1/2\end{bmatrix} \end{aligned} [A​I​]​=⎣⎡​014​10−3​238​100​010​001​⎦⎤​∼⎣⎡​100​010​001​−9/2−23/2​74−2​−3/2−11/2​⎦⎤​​ 由上述定理，可知 A A A可逆，且： A − 1 = [ − 9 / 2 7 − 3 / 2 − 2 4 − 1 3 / 2 − 2 1 / 2 ] A^{-1} = \begin{bmatrix}-9/2 & 7 & -3/2 \\ -2 & 4 & -1 \\3/2 & -2 & 1/2\end{bmatrix} A−1=⎣⎡​−9/2−23/2​74−2​−3/2−11/2​⎦⎤​

假设 A A A可逆，那么有： A A − 1 = I AA^{-1} = \boldsymbol I AA−1=I。由矩阵乘法的定义， A A A乘以 A − 1 A^{-1} A−1，就是用 A A A去乘以 A − 1 A^{-1} A−1的每一列。假设 A − 1 A^{-1} A−1的每一行按序号为 x i \boldsymbol x_i xi​，那么有： [ A x 1 A x 2 ⋯ A x n ] = [ e 1 e 2 ⋯ e n ] \begin{bmatrix}A\boldsymbol x_1 & A\boldsymbol x_2 & \cdots & A\boldsymbol x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \cdots & \boldsymbol e_n \end{bmatrix} [Ax1​​Ax2​​⋯​Axn​​]=[e1​​e2​​⋯​en​​]。要求解逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1的某一列 x i \boldsymbol x_i xi​，只需要求解方程 A x i = e i A\boldsymbol x_i = \boldsymbol e_i Axi​=ei​ 即可。这一点是很有用的，因为在某些问题中，只需要 A − 1 A^{-1} A−1的一列或两列。