我想，矩估计法（Method of Moments）的本质确实是通过样本矩得到总体矩，进而求出参数 θ \theta θ。让我们详细解释一下这个过程。

确定样本矩：

建立总体矩的方程：

建立方程组：

解方程组：

假设我们有一个均值为 μ \mu μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2的正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)的样本 { X 1 , X 2 , … , X n } \{X_1, X_2, \ldots, X_n\} {X1​,X2​,…,Xn​}。

计算样本矩：

确定总体矩：

建立方程组：

解方程组：

在例子2中，假设总体分布 X ∼ f ( x ; θ ) X \sim f(x; \theta) X∼f(x;θ)，其中 f ( x ; θ ) = ( 0 < x < 1 ) ⋅ θ x θ − 1 f(x; \theta) = (0< x 0。假设从总体中抽取了一组简单样本 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1​,X2​,…,Xn​。

计算样本的第一阶矩： X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i Xˉ=n1​i=1∑n​Xi​

总体的第一阶矩： E [ X ] = θ θ + 1 E[X] = \frac{\theta}{\theta + 1} E[X]=θ+1θ​

建立方程： X ˉ = θ θ + 1 \bar{X} = \frac{\theta}{\theta + 1} Xˉ=θ+1θ​

解方程： θ = X ˉ 1 − X ˉ \theta = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}} θ=1−XˉXˉ​

通过这种方法，利用样本矩匹配总体矩，就可以得到参数 θ \theta θ的估计值。