高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线．问题　你知道正态分布有哪些应用吗？ 知识点一　正态分布1．正态曲线若f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．当μ＝__，σ＝__时，称随机变量X服从标准正态分布；(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝__．3．正态曲线的性质(1)曲线在__轴的上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，关于直线________对称；(3)曲线在_______处达到峰值___________；(4)当|x|__________时，曲线___________x轴．理解正态分布要注意如下四点(1)μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布；(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(数学期望)；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计；(3)正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等；(4)由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布．若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？提示：若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a≤X≤b)为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．知识点二　3σ原则1．假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的定值．特别地，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.2．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．3．在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有____________，通常认为这种情况几乎不可能发生．怎样正确理解在3σ原则下小概率事件(一般情况下，指发生的概率小于0.27%的事件)是否能够发生？提示：(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正态曲线中参数μ，σ的意义分别是随机变量的均值与标准差．(　　)(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． (　　)(3)正态曲线可以关于y轴对称． (　　)2．如果ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么P(2≤ξ≤4)的值约为 (　　)A．0.5　　　　　　　　B．0.683C．0.954 D．0.997解析：∵ξ～N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，∴ξ～N(3，1)，∴P(2≤ξ≤4)＝P(3－1≤ξ≤3＋1)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.683.3．若随机变量X～N(0，1)，则P(x＜0)＝________．题型一　正态密度曲线的概念与性质【例1】　(链接教科书例)(1)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是 ( 　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．解析 将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.|通性通法|由正态曲线确定均值与方差的方法正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置．　 (多选)下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　 　)A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交B．当x>μ时，曲线下降，当x题型二　利用正态分布的性质求概率【例2】设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；解∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2.P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)P(3≤ξ≤5)．解∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，(变设问)若本例条件不变，求P(ξ>5)．|通性通法|利用正态分布的对称性求概率由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．　 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.∵P(ξ题型三　正态分布的实际应用【例3】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；解∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．|通性通法|求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．　 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？解：∵成绩服从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．标准正态分布和非标准正态分布、二项分布之间的关系1．标准正态分布N(0，1)在正态分布的研究中占有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于x0的值f(x0)是指变量取值小于x0的概率，即f(x0)＝P(X＜x0)，如图①中左边的阴影部分所示．2．由于标准正态曲线关于y轴对称，表中仅给出了对应于非负值x0的值f(x0)．如果x0＜0，那么由图②中两个阴影部分面积相等知f(x0)＝1－f(－x0)．1．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，已被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名员工，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)．考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名．(1)最低录取分数是多少？(结果保留为整数)当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.850.(2)考生甲的成绩为286分，若甲能被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．2．二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近似服从正态分布．并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布B(n，p)，当np>5且np(1－p)>5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即P(X≤x)≈P(Y≤x)，其中随机变量Y～N(np，np(1－p))．(1)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果相互独立．①计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；②他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；提示：在10次射击中，击中6次的概率最大．(2)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为η，计算P(68≤η≤92)．提示：因为E(X)＝100×0.8＝80＞5，D(X)＝100×0.8×0.2＝16＞5，所以近似于η～N(80，16)，所以P(68≤η≤92)＝P(80－3×4≤η≤80＋3×4)≈0.997 3.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.解：由题知μ＝9，σ2＝1.78，解：由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，∴Z的数学期望E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.3．设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(　　)A．0 B．1C．2 D．4解析：因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X＞1－a)．因为X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2.4．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3，1)，则不属于区间(1，5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1，5)的取值概率为95.45%，故不属于区间(1，5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.45%＝4.55%.5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤4)＝0.842，则P(X≤2)＝(　　)A．0.842　　B．0.158　　　C．0.421　　D．0.316解析：P(X≥4)＝1－0.842＝0.158.因为μ＝3，所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.158.故选B.3．如果正态总体的数据落在[－3，－1]内的概率和落在[3，5]内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是(　　)A．0 B．1 C．2 D．34．某人乘车从A地到B地，所需时间X(单位：min)服从正态分布N(30，100)，则此人在40 min至50 min到达目的地的概率为 (　　)A．0.135 9 B．0.271 6 C．0.954 4 D．0.682 6解析：由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C.6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.8. 已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＞5)＝0.1，则P(2＜X＜5)＝________，若某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1，22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，5)内的概率为________．9．已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态曲线如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；解：设此地农民工年均收入X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．解：∵P(7 500≤X≤8 500)＝P(8 000－500≤X≤8 000＋500)≈0.682 7，故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.135%.10．(多选)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(m)＝P(ξ≤m)，其中m＞0，则下列等式成立的是(　 　)A．φ(－m)＝1－φ(m) B．φ(2m)＝2φ(m)C．P(|ξ|＜m)＝2φ(m)－1 D．P(|ξ|＞m)＝2－φ(m)解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，∴正态曲线如图所示．∵φ(m)＝P(ξ≤m)，m＞0，∴φ(－m)＝P(ξ≥m)＝1－φ(m)，∴A正确；φ(2m)＝P(ξ≤2m)，2φ(m)＝2P(ξ≤m)，∴φ(2m)≠2φ(m)，故B错误；P(|ξ|＜m)＝P(－m＜ξ＜m)＝1－2φ(－m)＝1－2[1－φ(m)]＝2φ(m)－1，∴C正确；P(|ξ|＞m)＝P(ξ＞m或ξ＜－m)＝1－φ(m)＋φ(－m)＝1－φ(m)＋1－φ(m)＝2－2φ(m)，∴D错误．故选A、C.12. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N(200，182)．(1)计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；解：X～N(μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18，而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，∴P(182≤X≤218)≈0.682 7.又∵1＝P(X＜182)＋P(182≤X≤218)＋P(X＞218)，由正态曲线的对称性可知P(X＜182)＝P(X＞218)，∴P(X≥182)＝1－P(X＜182)≈1－0.158 7＝0.841 3.故所求的概率为0.841 3.(2)如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？解：由(1)知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，∴P(164≤X≤236)≈0.954 5.又由正态曲线的对称性可知P(X＜164)＝P(X＞236)，且P(X＜164)＋P(164≤X≤236)＋P(X＞236)＝1，∴P(X≥164)≈1－P(X＜164)＝0.977 2＞0.95.故这批材料符合这个要求. s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①利用该正态分布，求P(187.8解：由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.

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