善始者繁多，克终者盖寡。

在学习的过程中遇到了这么一个问题：已经通过查阅资料确定了某个因变量受到好几个自变量的影响，可是不同的自变量对因变量的影响程度肯定不同，那这个时候不太能自变量对因变量的影响程度如何确定呢？换句话说就是各指标的权重是多少？

使用一个形象的例子来说明：假设已经通过查阅资料确定，一个人的气质受到身高、体重、年龄三个因素的影响，那么我们期望得到这么一个等式。

W=aX1+bX2+cX3 X1、X2、X3分别代表身高、体重、年龄三个指标；W表示气质的量化分数

用来确定评价体系中各指标权重的方法大抵可以分为三类：经验的方法，数学的方法以及两者混合的方法。常见的经验方法有层次分析法、模糊层次分析法、德尔菲法等；常见的数学方法有熵权法、离差法等。

熵权法是从信息量的角度判断各指标权重大小的。 不同指标的变化必定引起测量目标的变化，变化程度越大，说明该指标的影响越大，其占据的权重也应当大。

说到信息量就不得不提到信息论奠基人香农及其相关理论。

关于信息量及信息熵的详细描述可以参考这位博主转载的文章。 信息熵

信息量很好理解，它反映的是某个时间所包含的信息的多少，即信息量越大其包含的信息越多，事物的不确定越小；信息熵则是对事物不确定性的描述，熵越大表示事物的不确定性越高，其包含的信息越少，熵越小表示事物的不确定性越小，其包含的信息越多。

熵反映了事物的不确定性，熵越小，事物的不确定性越小，其能够提供的信息越多。

信息量的多少可以通过事物发生的概率反映出来，一件事情发生的概率越高，其包含的信息量越大，信息量的计算公式为：

p(X)表示事件X发生的概率；I(X)表示事件X包含的信息，其结果是[0,1]的某个值。 至于为什么用对数函数，已经有大量研究说明了。

通过信息量我们可以来描述系统的不确定性，即熵，熵的计算公式为：

n表示系统中事件的个数；p(Xi)表示系统中的每一个事件发生的概率；H(X)表示系统的信息熵，取值范围仍为[0,1]，其取值越大表明系统不确定性越大，包含的信息越少。

熵权法是根据各指标的熵值来判断指标权重的，指标包含的信息越多，其占据的权重应当大，即越是重要的指标，其熵值越小。

我们使用信息熵的计算公式就能够计算出每一个指标（列）的熵，其计算公式为： 我们可以发现，每一个指标（列）熵的计算公式就是在信息熵计算公式前加了一个“ln(x)”，那这个“ln(x)”表示什么呢?

从数学角度看，当所有事件发生概率相同时，系统信息熵最大，其值为ln(x)，为了保证我们计算出来的数值在[0,1]内，我们在前面除以ln(x)

但是请注意，我们此时计算出来的只是某一个指标（列）的熵，熵反映的这个指标的不确定性，我们使用“信息效用”来表示该指标包含的信息量，信息效用的计算公式为：

d=1-H(x) d表示该指标包含的信息量，值越大说明其包含的信息越多；H(X)是先前计算出的指标的熵，

使用相同的方法依次计算出每一指标的熵及其信息效用，再计算当前指标在所有指标中的比重，即当前指标在系统中的权重。假设W=[w1,w2…,wm]，m表示系统中指标的个数,wi表示第i个指标的权重；H=(h1,h2…,hm)，hi表示第i个指标的信息熵；D=(d1,d2…,dm)，di表示第i个指标的信息效用，各指标权重的计算公式表示为：

假设已通过查阅文献资料确定气质由身高、体重、年龄三个因素影响，并收集到了5名背时的相关信息。

归一化的目的是消除量纲的影响。

“身高”的单位是cm；体重的单位是kg；年龄的单位是岁。使用原始数据可能会过分放大某一指标对最终结果的影响，例如假设最终求得“身高”和“年龄”的权重都为0.5，那么最终得分高低肯定是由“身高”主导的，因为大头在“身高”这边。

常用的数据归一化方法为极差法，计算公式为：

Xi表示当前数据；Ci表示当前数据归一化后的结果，其取值范围为[0,1]；min(X)、max(X)分别表示当前指标中的最小值与最大值。

以A2单元格为例，数据归一化的计算公式为：

=(A2-MIN(A$2:A$6))/(MAX(A$2:A$6)-MIN(A$2:A$6))

归一下后数据变为：

根据信息熵计算公式，求得每一个单元格中数据的信息熵：

注意：此时概率表示为：p=当前数据值/该列数据总和

以A2单元格为例，其计算公式为：

=E2/SUM(E$2:E$6)LOG(E2/SUM(E$2:E$6))-1

依次计算所有单元格的信息熵，结果为： 各单元格的信息熵计算完毕后可以计算每一个指标的总熵，以“身高”为例，其计算公式为：

=SUM(I2:I6)/LOG(5) 注意：此时记录中仅包含5条数据，所有使用LOG(5)，对于记录较多的数据可以使用count函数代替

“身高”的权重计算公式为：

=(1-I8)/(3-SUM($I 8 : 8: 8:K$8)) 注意：此时分母中的3为指标的个数，可以使用count函数代替；各指标权重和为1

最终三指标的权重分别为： 根据计算出的权重重新计算每一条记录的最终得分，结果为：

本人习惯于将需要用到的数据集存放在同级目录“files”下，保持一份数据底稿用以计算每条记录最终得分。

使用2.1提到的极差法将数据归一化，同时也保存一份归一化后的数据。

需要注意的是，在计算0*LOG(0)是程序会报错，所以需要进行特殊处理。

根据信息熵、信息效用的计算公式计算出指标的权重，将其存储起来。

本人将最终计算出的指标权重放在“熵.xlsx”表中，程序运行后会生成三份文件。

程序运行结果效果图为：

从运行结果1、2图可以看出归一化的效果。 记录2规约化后最终得分高于记录5，但是！！！在原始数据中记录5最终得分却高于记录2，因为原始数据三个指标量纲不同。