在学习重积分、曲线、曲面积分的过程中，我们知道，对于它们的计算一般都是转换为累次积分（定积分）的描述形式，然后逐步计算定积分来得到结果的；而且，在一般的数学软件中，当希望借助计算机来计算这些积分，或验证这些积分的计算思路及结果是否正确性时，一般也是首先构建这些积分的累次积分表达式，然后逐步定积分来得到！这样的过程不仅要求对描述积分区域的图形非常熟悉，而且还需要给出积分区域的不等式描述形式；尤其对于一些复杂的积分区域，可能还需要基于积分对积分区域的可加性来分割积分区域，通过子区域的不等式描述形式构建累次积分表达式，分成多个积分求和来完成验证过程.

既然借助于数学软件来验证思路与结果，当然希望是操作简单、方便、快捷、有效的.  那么有没有这么好的软件能够不通过构建累次积分表达式的方式，直接计算积分得到结果，来计算或验证多元函数积分的思路与结果的正确性呢？数学软件Mathematica提供了一种快捷、有效的计算操作方法. 该方法通过构建区域，将积分范围直接约束在定义的区域范围内，不需要构建累次积分表达式直接实现多元函数积分的计算.

区域的构建与几何描述

Mathematica使用的Wolfram 语言提供了创建、分析、求解和可视化区域的全面功能.  区域的描述常用方法两种，一种是直接图元法，一种是函数命令描述法，另外就是区域之间的运算更快构建复杂区域.

1、直接图元描述法

直接图元描述就是借助Mathematica中的图元构建函数命令来描述积分范围. 在积分中常用的描述有Line（线）、Circle（圆、椭圆）、Triangle（三角形域）、Rectangle（矩形域）、Polygon（多边形域）、Disk（圆域、椭圆域）、Sphere（球面）、Ball（球体）、Cylinder（圆柱体）、Cone（圆锥体）、Tetrahedron（四面体）、Cuboid（立方体）等等，都是完整的英文单词，更多图元对象的创建可以参见帮助指南中的“基本几何区域”列表.

以上图元命令积分范围的创建直接与绘制图形一样，并且其描述的图形对象对于二维图形可以直接用Graphics显示，三维图形可以直接用Graphics3D显示.

例1：绘制圆心在，半径为，圆心角为的四分之一圆周与顶点坐标为, , , 的四面体图形.

在Mathematica中输入表达式：

执行后的结果如图1所示.

图1

【注】对于显示不完整的Mathematica表达式或数学公式，请在上面左右滑动查看不完整内容！

2、函数命令描述法

除了以上特殊图元的方法构建区域，基于区域的等式、不等式及参数方程描述，Mathematica也可以快速创建复杂区域，常用的函数命令为

ImplicitRegion：描述由不等式和等式给出的区域

ParametricRegion：描述由参数化函数给出的区域

Region：显示区域描述的图形

DiscretizeRegion：离散化显示区域范围

例2：分别构建不等式和，，，描述的区域，并显示其图形.

在Mathematica中输入表达式：

执行后的结果为

其中Volume和Area也可以替换为RegionMeasure，Mathematica会自动根据区域类型得到相应的立体的体积和表面的面积.

例5：计算抛物线与直线所围成的图形的面积.

采用区域交运算操作定义曲线围成区域并计算面积，输入的Mathematica表达式为：​​​​​​​

执行后的显示的结果为

即区域定义运算的结果的等价区域描述形式，并显示曲线所围平面区域面积为18.

四多元函数积分的计算

下面以实例的形式给出Mathematica中直接以区域范围方式直接计算多元函数的积分.

例6：（二重积分）计算二重积分

其中为半圆周及轴所围成的闭区域.

输入Mathematica表达式：​​​​​​​