电磁学2.静电势能和电势 |
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静电势能
在静电学里,静电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能,与电荷分布在系统内部的组态有关。 假设有点电荷 \(q_1\) ,距离为 \(R\) 的位置 \(P\) 点又有点电荷 \(q_2\).
假设空间为空,第一次放置 \(q_1\) 不需要做功。但是放置 \(q_2\) 到 \(P\) 点就需要克服电场力 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{el}}\)做功。施加的力设为 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{kl}}\)。两个力大小相等,方向相反。两个点电荷的距离设为 \(r\) . 从无限远处把电荷移动到 \(P\) 点做的功就是静电势能U: \[\begin{align} U=W_{kl} &= \int _{\infty }^R \overset{\rightharpoonup }{F_{kl}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &= \int _R^{\infty } \overset{\rightharpoonup }{F_{el}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0} \int _R^{\infty }\frac{\text{dr}}{r^2} \\ &= \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0 R} \end{align} \]静电势能U是一个标量。单位是 焦。电场力是保守力,一点到另一点做的功与路径无关。可以是正值,也可以是负值,负值表示做负功。 电势假设检验电荷从无穷远位置,经过任意路径,克服电场力,缓慢地移动到某位置,则在这位置的电势,等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。 其实就是:从无穷远处移动到 \(P\) 点,单位电荷所做的功。 等式右边只剩下生场电荷的电荷量。 \[V_{P}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 R} \]单位是 焦/库伦。但是没人这么叫,一般都用 伏特(V)。很显然就是为了纪念这位大佬。两个叫法一个意思。 电势随着距离成 \(\frac{1}{R}\) 下降。假设空间中只有一个点电荷 \(Q\) ,如果是正电荷的,任何位置的电势都是正的,如果是负电荷的,任何位置的电势都是负的。只有在真正的无穷远处,电势才为0. 多点电荷在某点位置产生的电势,利用叠加定理可以很容易求解。 等电势面假设球形空心金属壳,表面均匀布满电荷,任何一处电荷密度一样。比如范式起电机。 那么我们将一个电荷从无穷远处移动到金属壳表面时,是有做功的,但是移动到金属壳内部,由高斯定律,可知内部没有电场,所以没有电场力的作用,意味着不用做功。 所以,内部电势将保持恒定。金属壳内部任何位置的电势都是相等的。 此时内部就是一个等势面。 等势面,简单理解就是,将点电荷从无穷远处移动到这个面上的线时,所做的功都是相等的。 例如以下蓝色虚线
电场确定时,我们就可以预测电场中电荷的受力情况。但是有时候,电场是难以想象的复杂的,利用等势面会容易的多,因为一点到另一点动能的改变完全取决于电势的变化。 所以我们只关心动能的改变的话,等势面会让计算方便的多,就像上面那幅图的第三个图,多点电荷产生的电场会异常复杂,而等势面显然简便很多。 在重力场中,铅笔总是想从高势能处向低势能处运动。相对地,正电荷总是试图从高电势移动到低电势,负电荷总是试图从低电势移动到高电势。 电势差假设在电场中,A点电势为 \(V_A\),B点电势为 \(V_B\) 。 则两点电势差为 \[\begin{align} V_A-V_B&=\int _A^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}-\int _B^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}\\ &=\int _A^{B }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl} \end{align} \]将一个电荷 \(q\) 从无穷远移动到B,做功,再从B移动到A,显然要出更多的力,这部分力做功,如果我们此时撤去这部分力,电荷将从A返回B,此时势能转换为电荷运动的动能。大小就是电荷量乘以电势差。 当只研究动能时,显然电势差方便很多。而且我们可以任意假设电势零点,来简化计算。(电路中假设的地) 电场与电势的关系在点电荷产生的静电场中,距离 \(r\) 的 \(P\) 点的电场为 \[\overset{\rightharpoonup }{E}=\frac{q \overset{\rightharpoonup }{r}}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]电势为 \[V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r} \]前面我们知道,电势是电场沿一条线的积分。反过来,电场可以写成电势的导数。 对电势公式求导,可得 \[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]电场是矢量,电势是标量,我们可以两边同时乘以方向单位矢量。 \[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2}\overset{\rightharpoonup }{r} \]所以电势的导数是电场的负数。 可得公式: \[\overset{\rightharpoonup }{E}=-\frac{\text{dv} }{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r} \]知道了电势,也就能找回电场。 加深理解假设空间存在电场, \(P\) 点有唯一的电势 \(Vp\)。 现在在笛卡尔坐标系中,只沿x轴走微小距离,如果电势没有改变,那么电场在 x轴上分量为0。如果实测有电势改变,则电场在x轴上分量大小为 \[\left| E_x\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $x}}\right|(\text{$\Delta $y},\text{$\Delta $z}=0) \]同理,可得其他两个方向分量大小 \[\left| E_y\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $y}}\right|(\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $z}=0) \]\[\left| E_z\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $z}}\right|(\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $y}=0) \]单位是伏特每米。其实和牛顿每库伦表达意思一样,只是形式不一样。 这样我们可以得到在笛卡尔坐标系中电势和电场的关系: \[\overset{\rightharpoonup }{E} =- \left( \left| \frac{\partial v}{\partial x}\right|\hat{x} + \left| \frac{\partial v}{\partial y}\right|\hat{y} + \left| \frac{\partial v}{\partial z}\right|\hat{z}\right). \]它是电势在各个坐标方向上的偏导数。其实就是电场在各个方向上的矢量分解。 例子 假设在距离 \(x=0-10^{-2}\) 内, 电势为 \(V=10^5x\) ,即随距离线性变化。 那么我们可以计算出电场 \[\overset{\rightharpoonup }{E} = -10^{-5} \hat{x} \]那么在这个范围内,电场只随距离线性变化。 |
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