动态规划」详解背包问题及实践（附C++代码） |
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C++ 基础知识 十二 背包问题
一、 背包问题简介1. 背包问题是什么2. 背包问题的分类
二、 0/1背包问题定义1. 0/1背包问题的定义2. 动态规划算法解决0/1背包问题3. 代码示例
三、 完全背包问题1. 完全背包问题的定义2. 动态规划算法解决完全背包问题3. 代码示例
四、 多重背包问题1. 多重背包问题的定义2. 动态规划算法解决多重背包问题3. 代码示例
五、 混合背包问题1. 混合背包问题的定义2. 动态规划算法解决混合背包问题3. 代码示例
六、c++ 背包问题的优化1. 背包问题的常见优化策略2. 代码示例
七、背包问题的应用1. 背包问题在实际生活中的应用2. 代码示例
八、 背包问题结语1. 背包问题的意义和价值2. 学习建议
一、 背包问题简介
1. 背包问题是什么
背包问题是一个经典的组合优化问题，它可以被抽象为一个把物品放入背包中的过程，以求最终背包中物品价值的最大化。 2. 背包问题的分类常见的背包问题主要分为以下三种： 01背包问题：每种物品最多只能装一次。完全背包问题：每种物品可以无限次装入背包中。多重背包问题：每种物品有限制次数可以装入背包中。 二、 0/1背包问题定义 1. 0/1背包问题的定义0/1背包问题是一个经典的动态规划问题，指的是有n个物品和一个容量为W的背包，每个物品只能选择装入一次或不装入。在装入背包的物品总重量不能超过W的前提下，选择物品装入背包中，使得背包中物品的总价值最大。 2. 动态规划算法解决0/1背包问题对于0/1背包问题，我们可以采用动态规划算法来解决。具体的解决思路如下： 定义状态：用dp[i][j]表示前i个物品，容量为j时的最大价值。状态转移方程：对于第i个物品，我们有两种选择，可以选择将其放入背包中，也可以选择不将其放入背包中。因此有如下状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) 其中w[i]是第i个物品的重量，v[i]是第i个物品的价值。 通过上述状态转移方程，我们可以求出前i个物品，容量为j时的最大价值。最后返回dp[n][W]即可。 3. 代码示例下面是一个基于动态规划的0/1背包问题的代码实现 #include #include using namespace std; int knapsack(vector& w, vector& v, int W) { int n = w.size(); vector dp(n + 1, vector(W + 1, 0)); // 定义状态 for(int i = 1; i if(j // 当前物品可以装入背包 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]); // 状态转移方程 } } } return dp[n][W]; // 返回前n个物品，容量为W时的最大价值 } int main() { vector w = {2, 3, 4}; // 物品重量 vector v = {4, 5, 6}; // 物品价值 int W = 5; // 背包容量 cout for(int j = 1; j // 当前物品不能装入背包 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } else { // 当前物品可以装入背包 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - w[i - 1]] + v[i - 1]); // 状态转移方程 } } } return dp[n][W]; // 返回前n个物品，容量为W时的最大价值 } int main() { vector w = {2, 3, 4}; // 物品重量 vector v = {4, 5, 6}; // 物品价值 int W = 5; // 背包容量 cout for(int j = 1; j // 列举每一种可能的数量情况 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - t*w[i - 1]] + t*v[i - 1]); // 状态转移方程 } } } return dp[n][W]; // 返回前n个物品，容量为W时的最大价值 } int main() { vector w = {2, 3, 4}; // 物品重量 vector v = {4, 5, 6}; // 物品价值 vector k = {2, 3, 1}; // 物品数量限制 int W = 10; // 背包容量 cout if(c[i - 1] == 0) { // 0/1选择方式 for(int j = W; j >= w[i - 1]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i - 1]] + v[i - 1]); } } else if(c[i - 1] == 1) { // 多重选择方式 for(int j = w[i - 1]; j // 完全选择方式 for(int j = 1; j // 遍历每一个可能的数量情况 dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * w[i - 1]] + k * v[i - 1]); } } } } return dp[W]; // 返回前n个物品，容量为W时的最大价值 } int main() { vector w = {2, 3, 4}; // 物品重量 vector v = {4, 5, 6}; // 物品价值 vector c = {0, 1, 2}; // 物品选择方式 int W = 10; // 背包容量 cout for(int j = W; j >= w[i - 1]; j--) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i - 1]] + v[i - 1]); } } return dp[W]; } // 根据单位重量价值排序后的0/1背包问题 struct Item { int w, v; double unitValue; // 单位重量价值 }; bool cmp(Item a, Item b) { return a.unitValue > b.unitValue; // 按照单位重量价值从大到小排序 } int knapsack2(vector& items, int W) { int n = items.size(); sort(items.begin(), items.end(), cmp); vector dp(W + 1, 0); for(int i = 0; i dp[j] = max(dp[j], dp[j - items[i].w] + items[i].v); } } return dp[W]; } int main() { vector w = {2, 3, 4}; // 物品重量 vector v = {4, 5, 6}; // 物品价值 int W = 5; // 背包容量 cout 3, 5}, {4, 6}}; cout |
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