多重积分的理解以及转动惯量的求解 |
您所在的位置:网站首页 › 球的转动惯量怎么算 › 多重积分的理解以及转动惯量的求解 |
多重积分的理解以及转动惯量的求解
一、积分
学到这里应该对与积分的概念很熟悉这里就不过多赘述。 二、二重积分二重积分的一般形式为 ∬ S f ( x , y ) d x d y \iint_S f(x,y)\,{\rm d}x\,{\rm d}y ∬Sf(x,y)dxdy 一般理解为一个物体的体积,这里的 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 表示高度关于变量 x x x, y y y的函数。求解多重积分的关键在于对于变量的范围的把控。 掌握好下面一道例题,便可掌握二重积分的真谛—— 求下列图形的体积
(
f
i
g
.
1
)
(fig.1)
(fig.1) 所以 V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − x − y ) d x d y V=\int_0^1\int_0^1{(1-x-y)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y V=∫01∫01(1−x−y)dxdy 二重积分的关键就在于几何体的底面积的积分,底面积的积分要注意的是
x
,
y
x,y
x,y 的范围有可能包含字母 三重积分的现实意义是质量,表达形式为 ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint_V f(x,y,z)\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z ∭Vf(x,y,z)dxdydz 例如在第一题中的体积则可以表示为 ∫ 0 1 − x − y ∫ 0 1 ∫ 0 1 d x d y d z \int_0^{1-x-y}\,\int_0^1\,\int_0^1 \,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z ∫01−x−y∫01∫01dxdydz 这里注意当三重积分的 f ( x , y , z ) = 1 f(x,y,z)=1 f(x,y,z)=1 则表示求体积,同样的二重积分 f ( x , y ) = 1 f(x,y)=1 f(x,y)=1 表示面积。 转动惯量的求解多重积分在物理中求转动惯量 转动惯量的定义为 I = ∫ R 2 d M = ρ ∫ R 2 d V I=\int R^2\,{\rm d}M=\rho\int R^2\,{\rm d}V I=∫R2dM=ρ∫R2dV 由于物质的密度一般是均匀的所以关键在于求解体积。但是当掌握好基本图形的求解并在此条件下积分就可以使做题更加快捷,下面我选择一个较难处理的基本图形。
所以可以得出 I = ∫ − R 2 − x 2 R 2 − x 2 ∫ − L 2 − L 2 ∫ − R R ( x 2 + y 2 ) d x d y d z = 1 4 M R 2 + 1 12 M L 2 \begin{aligned}I&=\int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\int_{-\frac{L}{2}}^{-\frac{L}{2}}\int_{-R}^{R}{(x^2+y^2)}\,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z \\ &=\frac {1}{4}{MR^2}+\frac {1}{12}{ML^2} \end{aligned} I=∫−R2−x2 R2−x2 ∫−2L−2L∫−RR(x2+y2)dxdydz=41MR2+121ML2 |
今日新闻 |
点击排行 |
|
推荐新闻 |
图片新闻 |
|
专题文章 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 win10的实时保护怎么永久关闭 |