也正是因为新教育人这样的真实改变，2019年教师节，在人民大会堂的领奖台上 新教育实验荣获国家基础教育优秀教学成果一等奖。新教育实验还是唯一进入一丹奖的前十名的中国团队。和以往新教育一直宣告的那样：所有外在奖项，都只是额外的奖赏。我最在意的是什么呢？是新教育实验能否持续引领教师成长，能否真正改善人们的生活，能否真正带领人们走向未来。

要做到这一点，课程是关键。我曾经说过，课程的丰富性决定了生命的丰富性，课程的卓越性决定了生命的卓越性。新教育实验在过去二十年的探索中，提出了新教育的未来卓越课程体系，即由新生命教育为基础，由真（新智识教育），善（新道德教育），美（新艺术教育）和定制化的个性化特色课程组成。新教育的各个团队，正在以大人文、大科学、大德育、大艺术等课程为核心，进行深入研究与系统开发。

在江子的引领下，贞元新教育卓越课程研究院的同仁带着新教育的基因，数十年如一日地扎根于心理学、教育学、哲学领域，研发并持续迭代K12（15年一贯制）课程系统。该课程系统完全内化了新教育的核心理念，重视中国传统文化，承续儿童的精神血脉，内塑人格，外推世界；坚持以儿童为中心，所有课程设置与实施都以符合各个阶段儿童的认知发展水平和规律为前提；以观念建构、技能习得、创新思维和人格发展为三维目标，协助每一个儿童获得全面协调可持续的发展。

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特别是《玩游戏.学数学》这套系列丛书，内容涵盖从幼儿园到高中整个基础教育阶段，每个年级又分为上、下两册，既有理论建构，又有操作实践，引导儿童“发明数学、创造数学，像数学家一样研究数学”；儿童既能体验到因挑战成功油然而生的满满的自豪感、成就感，又能获得优异的考试成绩，对于广受诟病的“机械灌输加题海战术”式的传统数学教育是一次根本性的变革。

这是非常有价值的探索。接下来，如何将目前的课程与新教育的未来卓越课程对接，是我对江子带领的贞元新教育卓越课程研究院更大的期待。

这是一个需要合作、需要团队的时代。相信江子带领团队一定能够创造出理想的新教育卓越课程系统，同时创造出自己生命的新辉煌。

进取是人类共同的梦想，教育是人类必备的使命。让我们共同努力，为中国教育探路，为全球化世界的未来，贡献自己的微薄力量。

新教育同路人：朱永新

2020年5月9日星期六

数学发生学观念下的分数教学

原创｜毛俊娜

来源｜贞元教育

《玩游戏学数学》课程，最最核心的理念就是——基于儿童的已有经验，引导儿童像数学家一样去创造数学发明数学！关于分数，三年级埋下一颗种子，到了五年级六年级种子就会萌芽，长成一颗树。其实每一个数学观念都可以在儿童的脑海中经历从种子到大树的生长历程，但如果只是客观的操练，这是不可能的。引导儿童像数学家一样去探索，每一个数学观念都可以经历从种子到大树的生长历程，这就是数学发生学的核心。这样的学习历程是可以迁移的，不仅仅是认识分数，其实自然及自然数的四则运算，小数及小数的四则运算，甚至包括未来，它们都可以经历这样的生长历程。

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△毛俊娜老师

我们都知道任何一个数学观念都不是“一蹴而就”的。分数观念的建构历程亦是如此。从人教版教材的安排中，我们可以看到分数内容在小学课程中一共会出现三次。是不是儿童的分数观念建构历程也会被分成三个阶段呢？其实不然，从观念的内在发展来看，主要有分数的初步认识和分数的再认识这两个阶段。

1

分数的初步认识

三年级，儿童将开始分数学习，那么他们准备好学习分数了吗？个体发生学告诉我们，我们的教学起点不应该是客观知识，而是此阶段儿童的已有观念的发展水平？已有观念对应的日常生活经验有怎样的特征？然后结合这个章节的具体内容，我们会进一步分析这样的发展水平在即将到来的穿越历程中可能会遇到哪些认知冲突？随后的课程就是围绕这些认知冲突展开设计的。因为认知是一个不断螺旋上升的过程，我们不仅会关心此阶段的认知冲突解决以后，儿童的日常生活会有怎样的变化，还会关心其将来的学习将会发生怎样的变化。

所以，当我们追问儿童是否做好了学习分数的准备时，就是在将自己的教育观念由客观的冷冰冰的知识转向生动活泼的儿童的过程；这是一名适龄儿童在《分数》章节章前测时的表现——

从中我们可以看出儿童的分数经验几乎为“0”，是不是此阶段儿童没有做好学习分数的准备呢？他们确实没有做好从科学的数的角度来理解分数的准备，但分数从它诞生之初，就与我们日常生活中的分割活动紧密相连，前测游戏中儿童已经很好地展现出自己对分割游戏的理解——把一个苹果想成是10角，半个苹果就是5角；把一个苹果想成是100分，平均分成4份中的一份就是25分。自然数及其运算观念已经成为儿童的前景观念。儿童已经做好了像最早的数学家一样在动作中，在具体的情境中去探索分数的诞生的准备；所以分数观念已经走进了儿童的背景观念中。

那么最早的数学家是如何遭遇分数问题的呢？我们先来玩一个分苹果的游戏：儿童都知道一个苹果可以用自然数“1”表示，两个苹果可以用自然数“2”表示……，那么半个苹果该怎么表示？这是孩子们的表示方法？

可以吗？当然可以，这就是孩子们在具体的实物的基础上的形象表达，说明孩子们理解半个苹果是将一整个苹果平均分成2份中的其中的1份。是否可以用我们的数学符号来表示呢？我们来看孩子们的符号创造：将一个苹果平均分了，且只拿了其中的1份；这个时候就有孩子提出反对意见：没有表达到底是怎么将这个苹果平均分的，这个信息太重要了，要不然，将苹果平均分成3份，4份，取其中的一份所用的数学符号语言就一样了。

经过课堂对话，老师再继续呈现其他同学的创造：儿童就能深刻体会到在符号语言表达中澄清平均分的总份数及占有的份数的重要性了。

是的，在结合儿童认知冲突展开的课堂中，老师只需要呈现孩子们不同的想法引起对话即可，在看孩子们各种创造时，也会倒逼我们老师去反思，教材中的“分数”表达形式就一定是客观真理吗？孩子们说将半个苹果表示成一分之二，难道不可以吗？我们的课堂最终也一定会就分数的符号表达形式达成最终的共识，但只有经过了儿童深入思考与辨析之后的数学才能成为儿童自己的数学，数学是被创造出来，发明出来的。

但分数的符号语言对于儿童来说仍然是抽象的，所以在对分数的符号表达形势达成共识之后，我们还会带着孩子们在切割彩泥、硬纸板、画在纸上的各种封闭图形、线段等等游戏中继续去表达分数。（补充照片）就是在这个过程中，分母表示将一个整体平均分的份数，分子表示占了其中的几份，及整个分数所表达的意义才会真的鲜活起来；

毫无疑问，这样的数学课，孩子们是非常喜欢的，但我们的目标绝对不是仅仅让孩子们觉得“好玩”就够了，而是要为儿童数学观念的纵向生长打下基础；所以在三年级，孩子们与分数的初相遇时，我们就会将数系探究的三个核心问题带入：诞生，比大小，和四则运算；在丰富有趣的动作经验中儿童已经体会到了分数的诞生历程，那么分数作为一个数，能否和自然数一样比大小和四则运算呢？三年级的孩子又该如何展开这样的探索呢？

还是需要回到直观的动作操作中去，孩子们可以通过画图直观地认识到四分之一小于四分之二，五分之一小于五分之三，甚至二分之一和三分之一这样的异分母分数孩子们也可以通过画图的方式感受到它们的大小关系。

但分数不仅仅具有量的大小，它还可以和自然数一样有序的先后。我们还可以借助直观的数轴操作，从量和序的角度来理解分数的大小关系。有了自然数的穿越历程，儿童对于数轴并不陌生，要在数轴上确定唯一的一个点，就需要满足数轴的三要素：起点，方向，单位长度。起点，方向的确定并不是难点，难点在于如何确定分数的单位长度，其实就是确定分数单位在数轴上的位置；比如我们要找到分数五分之三的位置，就需要先找到单位“1”，然后将单位“1”平均分成5份，根据分数的含义，其中的1份就占整体的五分之一，我们可以用其中的任何一段表示五分之一，这其实就是前面孩子们做的大量的动作游戏中所对应的分数的基数性质，但要在数轴上确定五分之一的唯一的位置，仅有基数性质是不够的，还需要结合分数的序数性质，也就是从“0”开始，向右跳一个分数单位，所跳到的位置就是五分之一。这样五分之一在数轴上的位置就可以被唯一确定，相应的任何以五分之一为分数单位的分数的位置都可以在数轴上被唯一确定。在这样的数轴操作中，儿童自然就会认识到数字的位置越向右数字就越大，越向左数字就越小。

最重要的是自然数的基数和序数观念被拓展到了分数王国；这个时候其实已经有儿童模糊的认识到，老师其实在带着我们玩填数轴的游戏，之前数轴上只有自然数的时候，数轴是一段一段的，但是现在有了分数，我们可以将自然数之间的空隙填满，数轴变得更“连续”了。这不就是第一次数学危机时，人们对数的连续性的追问吗？那么这样的危机会不会在当今的儿童身上重现呢？我觉得会的，只要我们将数学交给儿童，引导他们像数学家一样思考问题，那么它们也必然会遭遇历史上那些伟大的数学家的难题，并真正学会像数学家一样思考问题。

分数既然是数，能不能进行四则运算呢？当然可以，这个时候与分数有关的运算，儿童还仅能处理同分母的，且都是在具体的情景中，结合饼图或数轴进行的。但这已经足够了。比起具体的计算，我们更关心的是儿童是否能理解分数作为数存在的合理性。

可能孩子们所列出的分数的乘除法运算或多或少会出现问题，但并不影响他们坚信分数是一定可以像自然数一样进行乘除法运算的。其实只要结合图形语言及运算的本质含义，此阶段儿童也可以非常顺利的解决简单的分数乘除法问题。

是的，三年级的孩子就可以用数系发展的三个核心问题来研究分数，当然这样的研究必须符合儿童的认知发展规律，必须紧密结合儿童的动作游戏及直观操作；

伴随着儿童从小学低段走向高段，他们的学习活动也从“动手游戏”自然过渡到“思维游戏”。那么我们又是如何带着儿童通过分数游戏来体验数学思维之美与逻辑之美的？

2

五年级我们再次玩转分数游戏

我们依然会围绕与数有关的三个核心问题来展开新一轮的分数探索：分数的诞生，比大小及四则运算；让我们再次回到儿童此刻已有的分数观念的发展水平上，来开启新的一轮分数探索之旅！

通过前测，我们发现此阶段儿童的前景观念变得更加强大，自然数及小数的含义及运算观念可以帮助儿童更好的对与分数有关的未知领域发起挑战，在这个单元的前测游戏中，我们可以看出，儿童已经可以凭借其对分数本质含义的理解尝试着去沟通分数与小数之间的关系；

他们可以自如地借助图形语言或数轴解释分数的含义，并进行同分母分数的比较；

那么分数观念是否可以成为儿童的前景观念呢？我们在之后的前测中发现，儿童并不能很好地处理与分数有关的分类及异分母的计算问题。所以分数观念此刻还仅算是儿童的背景观念，但在儿童充满生机的回答中我们已经看到了他们对分数展开进一步探索的迫切期待：他们明显地展现出了对“特殊”分数——最简分数，非最简分数，相等的分数，超过分数（假分数）产生了浓厚的兴趣；

对异分母分数之间的运算跃跃欲试。

是的，分数可以再次探索的领域实在是太多了：意义的深入理解，假分数的认识，分数的基本性质，通分和约分，分数与除法的关系，分数与小数的关系，异分母分数的加减法运算……如果将其一个一个像散落的珠子一样带给儿童教学效果必然不佳，孩子们一定要问为什么要学习分数的基本性质，为什么要进行约分和通分？难道我们要回复孩子一句：到时候你就知道了，学就是了。这样的话无疑是在告诉孩子——数学就是高贵的“皇后”，孩子们只需要听话就行了。但如果我们带着儿童回到数系发展的三个核心问题入手，让他们像数学家一样去探索“分数”这个数系本身的时候，所有琐碎的知识就都有了意义！为什么要学习分数的基本性质？那是因为我们在分数比大小的时候遭遇到了新问题：

在面对同分母分数的比大小问题时，孩子们知道只需要对分数单位个数多少的比较就可以了。

面对同分子异分母分数的比大小问题，孩子们根据分数的本质含义也能顺利解决；

但是异分母异分子的分数该如何比大小呢？这就是《玩游戏学数学》课程设计的魅力，让孩子们不断遭遇新的问题，不断走上新的认知循环。这个时候孩子们就会发现对分数的现有认识还不够。分数是否还具有其他的特殊性质是我们没有发现的呢？其实部分儿童已经在大量的动作操作，画图的过程中有所感受，课堂上稍加对话，儿童就会对分数的基本性质有更加严谨科学的描述；

而我们通过分数的基本性质将异分母的分数变成同分母的分数，这样异分母的分数比大小问题就被转化成了同分母分数的比大小；而这样的转化过程其实就是通分的过程。

所以分数的基本性质和通分并非是孤立的内容，就是儿童在解决分数作为一个数的比大小问题时，自然而然的在遭遇问题解决问题的过程中的创造和发明；

有了分数的基本性质，理解了通分的含义之后，孩子们在面对异分母分数的加减法运算时，就能更好地解决了。同分母分数的加减法是分数单位个数的加或减，异分母分数的分数单位不同，我们没有办法进行分数单位个数的加减，怎么办？

我们可以用分数的基本性质将异分母的分数，变成同分母的分数。

约分一定要在通分之前学吗？其实并不是，只有孩子们感受到在使用分数解决问题的过程中，比如分数的比大小，计算，尤其是在计算时，分数的“臃肿”，约分的带入才是有意义的。

所以，认知循环的展开就是这样一步一步靠着问题向前推动，所有的琐碎的知识之间有了密切的联系。孩子们在掌握分数的约分，通分等问题的同时，也对分数的比大小问题及四则运算问题有了更加科学的认识。五年级会有专门的一个单元讲分数的加减法计算，我觉得这一定是有必要的，但对于贞元学子来说其实已经没有什么新内容了，无非是对通分和约分的技能变得更加灵活而已。

而这学期，小贝壳的孩子们以小组合作的方式展开了分数乘法与除法的探索，下面我们就来听听孩子们的分享，主题是分数除法的探索历程；

《玩游戏学数学》课程，最最核心的理念就是——基于儿童的已有经验，引导儿童像数学家一样去创造数学发明数学！关于分数，三年级埋下一颗种子，到了五年级六年级种子就会萌芽，长成一颗树。其实每一个数学观念都可以在儿童的脑海中经历从种子到大树的生长历程，但如果只是客观的操练，这是不可能的。引导儿童像数学家一样去探索，每一个数学观念都可以经历从种子到大树的生长历程，这就是数学发生学的核心。这样的学习历程是可以迁移的，不仅仅是认识分数，其实自然及自然数的四则运算，小数及小数的四则运算，甚至包括未来，它们都可以经历这样的生长历程。

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