一、

“口算题卡”的背后逻辑是什么？

这些年，“口算题卡”可以说是我们基础数学教育，特别是小学低段老师的一个法宝，为什么如此盛行？表面上看，通过口算题卡可以提高运算的速度以及运算的准确性，但是，我想有一个隐而不宣的、残酷的真相——作为老师来讲，我们离了这个口算题卡，根本不知道该怎么教低段的数学，作为孩子来讲，除了一遍遍地练习口算题卡，不知道该怎么样学习数学，这简直就是基础数学教育的一场灾难之旅！

低段，我们依靠口算题卡慢慢地往上走，就会进入题海战术。在漫长的题海战术中，我们的数学教育变成了淘汰儿童，而不是去发展儿童。再慢慢地，作为一个普通人，一个现代公民，我们会逃避、讨厌、甚至憎恶数学。作为那些有天赋的天才，在这条道路上，其实早已被无情的扼杀在摇篮之中。

为什么会出现这种情况？“口算题卡”背后的心理学假设是什么？

信奉“口算题卡”的人，无非认为儿童的大脑可能就是“魔术师的黑匣子”，要么只是一个谎言，一无所有；要么神秘莫测，但是不可知。基于我们日常的生活经验，我们会发现每一个儿童可能都像其他的高等哺乳动物一样，适合“刺激-反应”的模式，你动它一下，它就会反应，或哭或笑。所以为了提高儿童反应的速度和准确性，唯有持续地增加刺激的频次和强度。很显然这是“行为主义”或者说“极端的行为主义心理学”，把适用于小白鼠的，把通过实验观察总结的小白鼠的规律视作科学规律，并且把这样的科学规律迁移到儿童身上。

我们还继续追问：“口算题卡”背后的哲学假设又是什么？

有一个显而易见的假设，就是人或者儿童就等于小白鼠，背后人之性或者人性就等于物质性，或者叫生物性、本能性。当然我们还知道一些隐而未显的假设，因为数学学习等于儿童的数学认知，认知等于儿童的思维活动或者意识构造活动。既然是这样，那我们就会回忆起帕斯卡尔所说的“人是会思想的芦苇”，笛卡尔说的“我思故我在”，康德所说的“知性为自然立法”，海德格尔所说的“此在应该朝向自己的可能性而存在”。从这一系列的表达，虽只言片语，但是我们仍然能够体会“人之性”应该有“超越性”蕴含其中，这其中才会有真正的属人的自由。

但是如果我们信奉的是“口算题卡”，那么这样的哲学假设到底是真理还是谎言呢？所以我们总是会有许许多多的疑惑，“人性”=自然等于生物性吗？“人性”=自由？=超越性吗？“人性”=从自然到自由，从常人到本真能在，显现为人之为人的这种可能性吗？到底是哪一种呢？

“口算题卡”背后的教育学假设又是什么呢？

教育学离不开心理学和哲学。所以我们信奉什么样的心理学，哲学，我们就会在日常生活当中呈现出什么样的教育实践。教就等于强刺激+勤反馈，学就变成了被动的接受刺激及快速准确的反应。这里当然有隐喻，我们只不过把人理解为小白鼠、鸽子、马戏团，然后教育就变成了灌输、流水线和工厂。那么问题是：即便我们认为“口算题卡”有无穷无尽的，100个，1000个理由应该存在，但是生而为人，我们的创造性、我们的自由、我们的高贵和尊严到底在哪里？通过“口算题卡”能不能让人之为人的“人性”如其所示的显现出来？

非常的沉痛，其实这样的吊诡的现象并不仅仅只有口算题卡，我们可以拓展开来。此情此景，我们今天相聚在这里的每一位渴望找到出路，找到我们自己生命的出路的同仁们，我们该何去何从？这就是第二个问题。

二、

求根务本：从“什么是数学”转向“数学是什么”？

教育改革，一波未平，一波又起，但是为什么收效甚微？

这仿佛是一棵生病的树，删减或者增加它的枝叶，能不能治愈根之病呢？很显然不太可能。所以我们需要追问的是：基础数学教育，它的根、它的源头到底在哪里？这就是我们为什么要走向求根务本的道路。

通常我们把数学理解为一堆形形色色的知识，但是我们都知道知识的背后是原理，原理的背后是活生生的人的思维或意识活动。当然我们人之为人，为什么要有这样的意识活动？就会涉及到生而为人的意义或价值。今天我们不做太空太玄的沉思，所以我们就聚焦意识这个关键词，或者说思维，我们进一步地聚焦数学意识，我们再进一步地聚焦儿童的数学意识，这是我们关注的焦点。

什么是儿童的数学意识呢？这个问题很显然并不好回答。想要思考这个问题，意味着我们的思维应该有一个从“地心说”向“日心说”这样一个重大的哥白尼式的转向，没有这样的转向，其实儿童的数学意识是没有办法给出一个确定的答案和定义的，这个转向就是从“什么是数学”转向“数学是什么”？

数学是什么呢？在我们的日常语境当中，我们通常就会说数学属于运算，图形与几何，概率与统计，实际应用，我们还会进一步地说“数与运算”，那不就是1，2，3，……加减乘除吗？图形与几何，概念与统计……我们又会说出许许多多，但这是在回答“数学是什么”吗？这其实只是在回答“什么是数学”？我们可以说加减乘除是数学，但是我们不能讲数学就是加减乘除。

所以在我们的日常语境当中，我们通常会把这两个问题混为一谈。我们要换一个视角再次追问，有人会说数学无非就是基于一堆由定义或者公理、公设构成的基本事实，像一个逻辑链条的起点，它是确定可靠，不证自明的。然后我们在这个基本事实的基础之上，通过计算或者推理一步一步得到真命题，就是所谓的数学知识，然后把这样的数学知识再进一步地加以应用，转化为技术。当然我们也可以通过一些反思，不断的调整完善这样一个逻辑的链条。

但是问题是数学是这样的一个逻辑链条吗？如果我们说是，那么我们会进一步地问，数学就等于计算吗？数学就等于推理证明吗？数学就等于真命题吗？数学就等于数学应用吗？数学就等于那些所谓的基本事实吗？越追问，我们就会发现越经不起这样的追问。

那么数学到底是什么呢？这会进一步的逼着我们从根本上再一次地改变我们的提问方式，不改变提问的方式，根本就找不到问题的答案，只会让我们生出更多的疑惑。所以我们尝试着再次改变提问的方式，今天被称之为数学的东西是从哪里来的？它当然来自历史上一代又一代那些卓越的数学家们的创造与发明。我们今天的基础数学教育的教材又来自于哪里？它当然来自于历史上那些伟大的数学教育家们的二次装潢，他们把创造过程当中所有的脚手架全都拆出，给出了一个形式完美的数学知识系统，这就是我们现在的教材呈现出来的面貌。这样的一个提问的方式对我们有何启发？对我们团队而言，我认为启发是根本性的。

因为通过这样的一种提问方式，我们再次聚焦数学是什么的时候，我们会发现我们可能不必纠结于那些形而上学式的玄思，要去追问一个确定的定义或者答案。而是有了一个非常意外的发现——数学是人的创造与发明，而不是或者根本不是那些客观的待在教材中，待在图书馆当中的知识系统。

这样我们就会进一步地追问，既然数学是人的创造与发明，那么数学到底与儿童，与一个又一个独特的潜力无限的人有何关系呢？

在这里我们发现从数学家的角度有一个先验历史发生学，从每一个儿童的角度有一个个体发生学，他们之间居然具有某种同构的特征，我们称之为同构性。

基于这样的领会和洞察，我们认为每一个儿童都可以或者都应该像数学家一样去创造数学，去发明数学，何以可能？这仅仅是一种洞察，怎么样把它变成现实？这就是“玩游戏，学数学”的一个漫长的思维实验的立场。

三、

“玩游戏，学数学”，从动作游戏到思维游戏

动作游戏，首先意味着“手”，当然并不仅仅只跟手相关，儿童在学习数学的过程当中，有一个从手到脑的发展历程，也就是从动作游戏到思维游戏的一个转化的过程。

我们基于皮亚杰和维果斯基，加上我们自己成百上千的这样的实验，我们得到了个体发生学的代数模型：

每一个儿童从0岁到18岁都会经历这样的发展阶段，从最初的感知动作类游戏到分类与排序游戏，到小学阶段的具体的算式游戏，再到中学的代数式与函数，经历了这样的一个发展变化的过程。很显然从这里面，我们可以看得出来，从低段到高段，是一个从动作游戏逐步向思维游戏的过渡。

我们同样也得到了个体发生学的几何学的模型：

在这个模型当中，从最初的感知动作类游戏，到拓扑性的绘画游戏，再到小学阶段的物理性测量游戏，再到中学的推理论证的欧式几何。我们同样可以发现这是一个从动作游戏向思维游戏逐步过渡的旅程。

那么何谓动作游戏？我们举一个例子简单的加以说明。

这是人教版上册第二章，认识数字，这一章如何转化为“动作游戏”呢？这样的转化，背后依据的原理意义和依据又是什么呢？

这一章的游戏形形色色，有这么多。

第一，听甲骨文的故事，孩子总是喜欢听故事，然后在听故事的过程中，用彩泥去捏塑，捏塑的过程就是像仓吉一样去创造数字的过程，通过这样的过程去感受每一个数字符号不是一个个冷冰冰的数字小魔怪，而是像自己一样有生命、有温度。

孩子们在听故事的过程中创造数字，同时孩子们的创作会成为他们的作品，用他们的作品装饰他们的家园。

第二，在数字圆盘上创造数字图形，体验数字与图形之间隐秘的关系，可以说这也是数形结合最初的种子。

这都是孩子们编织的数字图形，每一个数字都可以对应一个图形。在这个过程当中体会数与形的关系，这都会成为孩子们的作品。

第三，在音乐节奏中与数字跳舞。跳舞的过程也就是引导孩子们体验数字与节奏之间的隐秘联系。

第四，在跳格子的过程中感受数字与数字之间的连续性变化，跳一格就相当于加1个1,在实际跳格子之后，又可以在写绘本上把刚才自己跳格子的过程，用写绘的方式呈现出来。如果没有前面实际跳格子的游戏，直接上来就在写绘本上操作，孩子们的体验就不会那么美好。除了一步一步地跳，一个数字一个数字地跳，还可以接力跳，接力跳就变成了一种开放性游戏，比如从0到10你可以怎么跳？方法就很多了。

第五，在创造中体会基数与序数的关系。今天的小学基础教育，严格来讲我们教的数字都不是“科学的数观念”，因为我们都是在口算题卡中去认识数字。这个数字只有它的基数性质，只是几个。如果结合数轴，孩子们就会非常好地体会到，每一个数字既是几个，又是第几个。这里基数和序数地性质就会完美地结合在一起，唯有如此，才有可能形成真正“科学的数观念。”

第六，棋子拆分游戏，把10颗棋子分成两堆，可以怎么分？这显然和口算题卡的体验完全不一样，把挑战的过程画出来，变成自己的作品，每一个孩子都可以拥有自己的作品。

除了分成两堆还可以分成三堆四堆五堆，于是构成了三角形的数字圆盘，四边形甚至五边形数字圆盘，整个过程都是充满了创意。

我们也会有相应的小测试，我们的测试题也是一个小游戏，就是让孩子们进行这样的数字拆分，画出独属于自己的烟花图。

第七，在数据线上表示加法与减法，先在实地体会加法与减法，然后在数轴上画出来加法与减法。

第八，在计数器上来操作加法与减法。

第九，在集合的拆分与合并中进一步体会什么叫加法什么叫减法。

第十，是用集合图与故事的创编呈现故事的运算过程，体会混合运算到底该怎么算？每一个混合运算的算式，孩子们都会给出好多好多算法。在这个过程中，交换律、结合律全在其中，当然在一年级的时候不需要提这样的名词。儿童在动作游戏中可以体验到，每一个数字都是有生命的，而不是只能机械抄写的“小魔怪”。每一个运算符号都是对动作经验的抽象与命名，比如说把两堆棋子合并起来，这样的动作我们把它命名为“加法”，然后我们用“＋”号来表示，这个时候孩子们对于加法符号以及加法运算的领会跟做口算题卡是不一样的。每一个游戏都是开放的，充满探索性的，它跟完成口算题卡中的3＋7=？完全不一样，前者可以去创造，后者只能得到唯一标准答案，甚至只能靠记忆背诵。

在动作游戏中可以非常好地领会到算理，也就是数字与数字，数字与运算，运算与运算之间的关系，这样的算理就可以在动作游戏当中，在儿童的脑海和生命当中如其所示地，活泼泼地生长，它是有机的，有生命的，而不是仅仅根据口算题卡，最后变成僵化的死知识。最最重要的是对每一个儿童生命状态的改变，我们通过这样的动作游戏让每一个刚刚入学的学龄儿童，一年级的孩子，他能感觉到“我能行”，“我愿意”，“我喜欢”，而不是“我很笨”，“我逃避”，“我憎恶”数学。这样的最初的生命体验，学习数学的体验，对每一个孩子而言是多么重要！它的价值无与伦比，也就是最初的感觉！

整个过程还有先验的历史发生学，在这个问题上简单说一下我们的思考，我们并不认为数学这个逻辑链条它的起点就是教参教科书上所说的基本事实，这个基本事实的提法比较模糊，因为它到底是老师的基本事实还是儿童的基本事实？需要澄清这个问题。有的时候对于老师自身我们还要进一步追问，我们认为1＋1=2，到底是因为我们习惯了，习惯成自然，脱口而出，还是1＋1=2到底是为什么对于我们是豁亮的，是澄明的，是清晰的，是不证自明的？就像哲学家所讲的明见性，或者自明性，我想这大成问题！很多我们成人所讲的基本事实并不可能达到这样的自明性，我们只是认为它是一个这样的正确答案而已，跟我们的生命没有太多的关系，我们想要进一步的追问，哪怕这些基本事实对于我们成人而言是自明的，是豁亮的，但是对于儿童而言，具备这样的自明性吗？很显然大成问题，怎么样来解决这个问题呢？动作游戏，它太有用了，对于儿童而言它是一种“具生认知”，首先他不是应用自己的大脑或者主要强调大脑的思考，而是他的一举手一投足，他整个生命由内而外的通过他整个的身体去探索这个世界，去认识这个世界，当然也包括对于数学的学习，实事上这样的动作经验构成了儿童认识活动丰富的背景，丧失了这些背景一步直接跳到口算题卡，后者很显然不太美妙。还有“直观”，我们总是在不停的争论，直观到底是用眼睛看？还是像我们哲学家所讲的，直观恰好不应该用眼睛看？它应该体现了一个天才的洞察力，想象力，直观到底是什么意思？在动作游戏中，我们还原到一个儿童所应该拥有的所能够拥有的直观能力，儿童既不是完全通过眼睛去直观，也不是完全通过大脑去直观，而是在动作游戏中如其所示地去直观。“权能”，就是学习者地主观能动性，一个人再小，他是一个生命，一个生命总是具有自己的权能，他不是被动地在那儿被给与被灌输，儿童总是能够在动作游戏中体验到更多，看到更多，直观到更多，这一切也是人之为人理性地起点和源头。

所以动作游戏并不是简单地动动手，简单地从教室跑到操场上。从学前到小学低段，到小学中段到小学高段，再到中学，这是一个逐步过渡的过程，在玩游戏学数学的过程中何以体现这样的过渡呢？到了高段如何来体现思维游戏的特征呢？我们再举一个简单的例子来看一下，思维游戏与动作游戏之间有什么联系和区别？

这是人教版五上《多边形的面积》这一章的建构历程：

简单来说就是怎么样来“玩游戏，学面积”？

我们一般都会有课前挑战单，这些课前挑战单到底有什么特点呢？跟我们市面上看到的以及很多学校都在做的课前预习有什么不同呢？我们的挑战单不是课本上哪些例题或者习题，课本上根本没有这些题，所以孩子们拿到挑战单之后他不能通过任何方式找到标准答案，看教材找不到，查作业帮更找不到。一般情况下孩子们拿到的习题，试卷，基本上用万能作业帮可以查到标准答案，而我们的挑战单没有标准答案，孩子们只能基于自己的头脑中已有经验进行独立探索，这个太重要了！如果我们认为儿童是学习的主人，我们就必须从起点处让他的主人身份得以显现，我们的挑战单是一种思维支架，是为孩子的独立探索和思考提供支架，而不是常见的典型的考题，练习题。

第一个问题：如何度量一个长方形的面积？很显然，长方形的面积公式在三年级已经学过了，但是到了五年级的时候，为什么还要设计这个问题？设计这个问题的目的、意义到底是什么？目的是为了唤醒儿童脑海当中的已有经验，而不是重新再找到、回忆起那个孩子们已经学习过但又忘掉的死的公式，不是这样的。所以儿童通过这样的一个问题，要唤醒的是度量问题的本质。在三年级的时候，如果他穿越了我们的课程，他就知道如何度量一个平面图形的面积，或一个图形的大小到底该怎么度量。

度量问题的三个核心，也可以称之为三位一体，度量平面图形，只要是度量，不论遇到二维的还是三维的度量，首先要找到度量的基准，就是我们通常所讲的单位，有了基准，那么通过什么样的几何变换去操作，这个度量的过程其实就是几何变换的过程，选择基准不一样，不同的基准之间具有怎样的换算关系，这才是度量的本质。所以这里唤醒的不是s=a×b或者s=长×宽，而是要唤醒儿童脑海中已有的关于度量的本质。

有了这个唤醒，孩子们就可以进入第二个问题的思考，怎样将一个长方形分割成两个三角形？分割过程对你有何启发？或者说通过这样的分割你有何发现？

在我们的系统当中，五年级的孩子们画图就可以了，当然如果他的动作经验还不足，他也可以剪一个长方形，然后去切割、去补、去操作。在这个过程当中，孩子们基于他的已有经验就可以明白，我们可以沿着对角线剪齐，将一个长方形分成两个直三角形。很显然，这两个直角三角形的面积是相等的，它们的和就等于长×宽。那么直角三角形的面积如何度量就清楚了，面积就等于a×b/2，等于长方形面积的一半。由此儿童脑海当中关于度量二维图形面积的工具箱中，除了三年级学过的长方形，又多了一个任意的直角三角形，他已经知道该怎么度量直角三角形的面积了，但很显然我们可以继续。

问题三，任意的非直角三角形。锐角三角形、钝角三角形总是可以分割成两个直角三角形吗？

这个问题开放性比较小，给孩子们搭的台阶可大可小。这样的一种分割变换，对于解决平面图形的面积又会有怎样的帮助？我们的孩子可以通过操作，很快可以发现对于任意的一个三角形，作一条高就可以将其分割成两个直角三角形。当然钝角三角形也可以变成两个直角三角形面积的差。这个过程意味着什么？是的，孩子们可以基于他的已有经验，进而探索出任意的一个三角形的面积度量方法。因为直角三角形的面积如何度量前面已经探索出来了，两个直角三角形的面积相加得到另一个三角形的面积，就这样，孩子的工具箱从原来的状态更新为长方形和任意的三角形，而不是任意直角三角形。

在此基础之上，我们可以进一步的探索如何度量任意一个平行四边形的面积？

有了之前的经验，孩子们当然知道可以沿着对角线进行切割，这样就把一个平行四边形分成了两个三角形，而两个三角形的面积他们已经知道该如何度量了，所以对于平行四边形的面积也就知道如何度量。到此时，孩子们的思维已经很发散了，比如说他不满足于沿着这条线进行切割，也可以沿着平行四边形的两个顶点作高进行切割，分割成一个长方形和两个直角三角形，两个直角三角形可以计算，也可以将它平移过来，又变成了一个长方形，方法就会有很多。通过这样的探索，孩子们的面积工具箱又增加了一个任意的平行四边形。

在此基础之上，我们可以继续探索，如何度量任意一个梯形的面积？

有了之前的探索过程，孩子们方法就非常多了，可以沿着对角线切割，梯形就变成了两三角形；也可以过一个顶点来做一个腰的平行线，分成了一个平行四边形和一个三角形；还可以做两条高，分成一个长方形和两个直角三角形。孩子们还有很多种方法，比如把两个腰延长相交于一点等方法。总之通过这样的一个探索过程，孩子们已经会度量梯形面积了。在此基础之上，孩子们其实并不满足，会去考虑任意的平面多边形，以及从平面多边形到圆形，该如何度量它们的面积？

我们的探索题还会有这样一个有趣的问题，上面所有的探索的过程最终都会得到一个公式，那么我们会追问这些面积公式之间到底有何关系？

比如在提醒的基础之上，孩子们就会想象它是具有弹性的橡皮泥，当固定下底不变，把上底往上提，一点一点的压缩，就变成一个三角形。这个过程可以理解为一个思想实验，不必去操作。在这个过程中孩子们会体会到，这不就是梯形的上底一步一步地变成零的过程吗？当上底等于零的时候，梯形的面积公式恰好就变成了三角形的面积公式。孩子们也会想象把梯形上底一点一点的撑开，把梯形一步一步地变成一个长方形。通过这样的变化，上底或下底就相等了，上底与下底相等，再乘个高，除以2，这不就变成长方形的面积公式了吗？这样的思维游戏可以帮助孩子们将一个一个看似孤立的知识点的内在逻辑关系巧妙地建立起来，这对于孩子而言是太好玩了，他会觉得非常非常的有意思，满足了他思维挑战的期待与渴望。

但是在经历上述完整的挑战单时，孩子们尝试进行这样一种思维游戏的过程中可能会出现什么问题？

我们在实践的过程当中，从教师的角度讲，就是如何确定儿童的认知冲突，这是很难的一个过程。因为儿童提交的这个挑战单要么非常完美，要么一片空白。想象一下他在这个系统里面，非常适合这样的思考和探索的过程，呈现出来的挑战单中的每一步，就会非常的完美。但如果他中途插班，或者某些孩子即便在这个系统里面，但思维能力相对可能弱一点点，那么在第一问题探索时，可能就会遇到阻碍。一旦遇到阻碍，他的挑战单就可能会惨不忍睹，可能一片空白。这种情况会经常出现，怎么办？从学生的角度，不只是在起点处，他们的经验差异巨大。因为每一个孩子进入这个系统早晚不一样，所以他们在起点处当然有差异。但是更重要的是在这样的一个探索挑战的过程之中，处处都体现了孩子们思维上的差异。这样的差异如果我们不能够用教育的智慧去面对，很显然我们当然会遭遇其他形形色色问题或质疑。

怎么办？我们的方法一是提前补，起点处的差异，靠提前补。尽可能的通过老师的努力，给孩子们补充一些动作游戏，让孩子们在起点处达到基本相似的经验水平。

其次，我们把整个教学过程变成了一个四合一的过程，也就是孩子的课前独立探索+课前的小组合作学习+课堂对话+小论文的写作，在这样的一个四合一的过程中，把差异变成最有效的教学资源。

孩子们独立挑战完以后，他们就可以在课上首先进行小组内的分享。

在小组内分享的基础之上，他们就可以作为小讲师，在全班同学面前去分享，其他的同学会对他们分享提出质疑、批评和建议。

课后，孩子们又会把这一个探索的过程用图文并茂的方式呈现出来，就成为孩子们的小论文。这样的作业我们认为比练习册、习题更有价值。基本上慢慢地所有的孩子都可以以这样的方式来呈现他们的探索成果。

这个孩子还把自己探索的过程做成PPT，然后在自己的班级以及其他的班级做演讲和分享。

现在我们就可以大致体会到思维游戏到底有什么样的特点？思维游戏离不开课前挑战单，但是课前挑战单是思维游戏的支架，而不是传统的例题和习题的汇集。在这个过程当中，必要的动作游戏仍然是有价值的，它可以对思维游戏起到辅助的作用。儿童的已有经验是思维游戏的起点，而不是我们编好一道程序，然后让儿童去做题，做题的过程不一定就是思维游戏。在这个过程当中，儿童会遇到很多的认知冲突，但是我们认为认知冲突是思维游戏的助推器。换句话讲，如果没有认知上的冲突，其实思维游戏是进行不下去的。所以我们并不把认知冲突当作是必须要扫除干净、破除掉的障碍、拦路虎，而是意识到它在教学意义上的价值。对话，不管是同学之间还是同学与老师之间的对话，都是思维游戏的交互性的游戏场。当然最重要的是儿童是真正的游戏者，无人可以替代，我们只能够提供帮助，但是不能替代儿童去游戏。

现在我们当然要进一步的追问，这样的思维游戏是否具有普遍性？

是不是只是偶尔为之的调剂品，或者说成为教育改革的一个装饰品，或者说思维游戏，它仅仅与课程内容高度相关，有些内容适合做成这样的游戏，而有些内容根本就不行，是没有办法，只能够死教、死学。我们认为思维游戏是具有普遍性的，如果它不具备普遍性，我认为它的价值可能就太小了，我们就没有必要做这样一种追求。如果它具有普遍性，这样才能够让这种普遍性有效的落地。

对于“玩游戏，学数学”而言，我们事实上通过了两个模型将思维游戏从学前到高中，也就是K12“一以贯之”的把它落实下来。这两个模型一个是“单元教学整体设计的发生学模型”，一个是“课堂对话发生学模型”。

简单介绍一下第一个模型：“单元教学整体设计的发生学模型”，这个模型首先要追问的是这个单元它的核心素养或者它的单元大观念到底是什么。在这个基础之上，我们明确单元教学的三维目标、核心观念、核心知识与技能、创新思维与人格发展。在这个基础之上，我们来设计表现型的评估系统，最后落实为为了理解而进行的“教与学”的设计过程。

整个的过程当中，我们会围绕五大核心问题展开：这五个问题的第一个，我们把它称之为章前评估，就是每一章在教学之前要先进行的评估。这个评估的目的就是要明确儿童脑海当中的已有观念具有怎样的发展水平？第二个核心问题是与儿童脑海当中的已有观念相对应的日常概念具有怎样的特征？第三个问题是儿童脑海当中的已有观念，可能在遭遇新的学习任务的时候，遇到怎样的认知冲突？先明白孩子们的认知冲突在哪里。第四才是如何设计我们的教学过程，有效地帮助儿童解决这些认知冲突？最后一个问题是儿童的认知冲突解决了以后，他们建构生成的新观念对后续的学习与生活会产生怎样的影响？这是时下所说的大单元教学，也可以用这样的名字，用什么样的名字并不重要，但是我们在进行这样的整体教学设计的时候，要关注这五个核心问题。

在这五个问题基础之上，我们把每一个单元的若干个课时设计出来，它分为三个板块：浪漫、精确和综合。今天没有时间做过细的分析，整个的浪漫阶段，这是我们教材当中一般不会出现的，需要我们单独地进行设计，它的目的就是为了唤醒已有经验，对接下来这一章的学习有一个整体的浪漫感知，同时最好能够有效地激发孩子们学习的兴趣和欲望。整个的精确阶段，也就是我们传统教学也会把精力和时间都投入的这些部分。但是我们因为有了前面的浪漫部分，所以我们要聚焦典型问题，展开课堂对话，通过课堂对话建构生成新观念。最后是综合阶段，灵活应用新观念，开启新的认知旅程。这是第一个模型。

第二个模型在单元整体教学设计的基础之上，进一步聚焦每一个课时的设计与实施，所以这个模型叫“学习者中心的课堂教学发生学模型”。它分为五个步骤，构成了一个螺旋上升式的认知的闭环。下面对每一个环节简单的做一点解释。

第一个环节就是临床法诊断儿童原有的认知水平。其实我们这个词是用了皮亚杰的说法，但是我们没有完全照搬皮亚杰的临床法。这个过程的目的就是落实“基于儿童，发展儿童”，只有最好的、最清楚的了解了儿童，我们才能够发展儿童，而不能再像传统教学那样，我们对于儿童到底目前处在一个什么样的认知发展水平上不知道，所以我们只能让孩子死学。在这个意义上来讲，每一个老师，每一个父母都应该是最好的园丁。优秀的园丁可以实时的松土、除草、浇水、施肥、提供阳光和雨露，但是永远不能代替种子自己生长，更不能以淘汰为手段戕害儿童！

第二个步骤是确定学习目标，设计课前挑战题，这是每一课时的课前挑战题。对于目标我们分为单元教学的三维目标，就是核心观念、核心技能、创新思维和人格发展。课时教学的三维目标分为A级目标、B级目标和C级目标。A级目标就是基础性目标，基础性目标也就是孩子们自己独立探索的时候就可以达成的目标。B级目标是核心目标，也就是唯有通过课堂对话才可以达成的目标。C级目标是拓展性目标。

第三步是评估儿童通过独立探索达成的新的认知发展水平。这个目的，首先是唤醒儿童脑海中的已有经验，第二是围绕第二天的学习目标设置挑战性问题。从学生的角度讲，就是应用自己脑海中的已有经验去解决问题，像数学家一样独立地去探索数学。从教师的角度讲，那就是甄别典型的认知冲突。我们拿到孩子交上来的挑战单，哪些问题是典型的，它是有价值的，把这些典型的认知冲突作为课堂对话的起点。

第四个步骤就是课堂对话。在课堂对话的过程中，老师只需要依次出示典型问题，展开课堂对话。在这个过程当中，教师的语言是要有控制的，而不是像布道者一样一直讲，通常要简洁到只需要去追问孩子们“你认不认同？谁还想质疑？”。教师在这个过程当中不是真理在握的布道者，而是课堂对话的推动者。就像一个水渠，它如果非常的流畅，你就不需要过多地去干涉，如果它遇到了阻力，我们只需要稍微的去清理一下，引导一下。通过这样的课堂对话，达成临时性共识，建构生成新观念。

最后一个过程就是评估反馈，应用新观念开启新的认知旅程。在这个过程当中，我们也是要进行练习的。很多人说，你们玩游戏，学数学，难道不需要练习吗？我们不是说不需要练习，而是说不需要传统的那种机械的练习，练习在我们教学的闭环当中，它是水到渠成的。只要新的观念建构好了，就像你买了一把新的宝剑，你要想灵活自如，你要想高效，那你当然需要适当的练习。而且更重要的是在这个练习的过程当中，他会遭遇到新的认知冲突，有了新的认知冲突，就会开启新的认知的旅程。

现在我们再来看这个问题，“玩游戏，学数学”中的游戏，或者特指这里的思维游戏，到底具不具备普遍性呢？我们认为这两个模型的背后，首先意味着一种心理学的支持，它并不是我们简单的一个经验的归纳总结。我们知道，如果仅仅是经验的归纳总结，它当然不具备普遍性，所有的经验都有情境，都有具体的环境，都有具体的适用范围。所以我们首先有心理学上面的一个追求，它显然并不是我前面提到的像口算题卡那样的极端的行为主义心理学。我们在这个过程当中已经多次提到皮亚杰，还有另外一位就是维果斯基，这两个著名的认知心理学家。

提起皮亚杰，我们当然会给他加一个标签，叫“个体建构主义”。他的认知心理学对于引导老师去了解儿童价值重大。同时，他所强调的反省抽象，也就是说，每一个儿童如何基于自己的已有经验去纵向的探索、突破，然后建构生成新的观念，这仿佛就是一个人的自主创造发明的过程。所以这两个观念对我们今天的数学教育，我觉得怎么强调它的价值都不为过。但是我们在进行实验的过程当中，我们发现了解儿童是一个起点，但是如何在了解儿童的基础之上更好地去发展儿童？我们认为哪怕是这个临床诊断法都有改进的余地。同时，我们也认为反省抽象的提法它有些过于理想化，一个儿童能不能独立的，不需要跟其他任何人对话交流，就能够自主的创造发明？我们认为在这个过程当中，可能这种对话，我们不能够忽视。

给维果斯基贴个标签，那就是“社会建构主义”。他的关于有目的、有计划的学校教育的价值和意义，很显然怎么说都不为过。当然如果忽视了儿童，只是强调一个客观的教育目标，教育计划，那很显然就可能变成灌输，所以维果斯基又提出了一个天才的理论，叫最近发展区，所有的教学都必须限制在儿童的最近发展区之中。但是我们在实验的过程当中发现如何去测量这个所谓的最近的发展区，或者说它本来就无法测量，那你如何去领会最近发展区之于教育学的意义和价值？这个过程很显然我们需要站在维果斯基的肩膀上，进一步地去探索。

我们是这样做的，在这两位大师的基础之上我们提出来“个体发生学”。核心的观点有两个：第一就是了解儿童，发展儿童。我们了解儿童的目的是为了发展儿童，所以哪怕在章前测、在课前诊断的过程当中，我们都不是旁观式的，不是像皮亚杰那样偏旁观式的医生问诊式的临床诊断。而是在章前测的过程当中都是对话的过程，老师和孩子进行对话，通过对话去了解儿童。不仅了解儿童原有的认知发展水平，而且也能够了解儿童通过对话可能发展到的一个状态和水平。也就是说，不仅了解儿童已经有的东西，而且还要了解儿童潜在的可能性。同时，我们非常非常重视问题的价值和意义，就是要以问题为支架，以对话为引擎。我们认为通过这样的方式，可以更好地促进儿童认知的发展。这就是我们所说的个体发生学。

所以这两个模型，可以帮助我们将目前的人教版的教材一年级到九年级，每一个单元，每一个课时全部都能够变成游戏。只不过低段倾向于是“动作游戏”，到了高段，到了初中，逐步过渡到思维游戏，而目前我们整个10到12年级（即高中阶段），也正在积极的研发与实施之中。

所以，我们认为“玩游戏，学数学”的这种游戏的设计，从某种意义上来讲不是一个简单的经验的总结，而是具有一定的普遍性。当然，我们也时刻保持着对所谓模型的一种警惕。两个模型，我们认为仅仅只是“玩游戏，学数学”的下限，而不是绝对真理，老师和孩子们的创造力和想象力决定了“玩游戏，学数学”的上限。所以说模型只是一个助手，而不是镣铐和枷锁。

四、

“玩游戏.学数学”的本质：

从种子到大树，让观念与生命都能活泼泼地生长

这是一粒小小的种子，但是它隐藏着生命全部的奥秘。在岁月之中，在强烈渴望生长的意志之中，终将有一天变成一棵参天大树。那么从种子到大树，到底是谁可以这样活泼泼地生长呢？我们认为首先意指的是学习者在内外交互的这样一个过程之中建构生成的数学观念，所以这个活泼泼的生长过程，首先意指数学观念活泼泼的生长过程。

这是几何发生学的课程树，跟我们的教材密切相关。整个的小学阶段，我们认为它是一种物理测量游戏。从一维测量、二维测量到三维测量，然后到中学的欧式几何，当然也包括解析几何。

我们简单的以小学的度量为例，它包括一维度量、二维度量和三维的体积度量。这个度量的观念如何从种子到大树体现这个生长过程呢？

一维度量。这条线段，或者你说这是一条木棍，或者是其它什么，这都没有关系。因为整个的小学阶段，只是物理性的度量观念，而不是欧氏几何的直线、线段观念。它是一个度量对象，或者被度量的对象。如何度量？第一步，要确定一个基准，也就是确定单位。有了单位我们就可以进行平移变换，平移两次，三次，四次……这个过程，就是我们整个数学教材特别强调，但是也被我们传统数学教育严重忽视的几何变换。最最重要的平移变换，对称变换，旋转变换，从小学低段开始，年年不断的在重复学习。但是我们教材把它作为一个独立的章节，所以我们就认为它是一个孤零零的三个知识点，而不能够意识到它是渗透在整个所有几何学习过程当中的思维武器。

但是我们在改革的过程中努力尝试做调整，所以在这样一个过程当中意识到：第一步要确定基准。第二步就是几何变换，平移变换的次数等于度量的结果。如果出现了盈余或不足，那就意味着要逼出新的度量基准。既然有不同的度量基准，当然也意味着它们之间存在相互的换算关系。这里也可以用拉伸变换来理解，今天就不多说。

所以核心问题就是三个，在一维度量中，孩子们已经清清楚楚了。哪三个？第一基准，第二几何变换，第三不同基准的相互转换。到了二维度量的时候，不是在学新的知识，只是提供了新的学习素材，或探索的情境。但是孩子们应该关注的问题仍然是度量，仍然是这三个问题，如何确定基准？如何进行几何变换？如何关注不同基准之间的相互关系？

你看长方形。当然你不能选择线段为基准，要选择小方块为基准。有了这个小方块，平移变换就好了。那么这个过程，有了基准，有了平移变换，有了不同基准之间的相互转换，二维度量就是这么简单。

三维度量一样简单，不是有了更多的公式需要记忆，它是提供了更多的情境，但是需要关注的本质性问题，没有改变。

一个长方体确定基准，有了基准进行平移变换就好。所以这个过程，仍然是确定基准的过程，平移变换的过程，确定不同基准之间如何进行转换的过程。

所以我们就可以清晰的看出来，整个小学阶段的几何是如此的脉络清晰。在一维度量的时候关注度量的本质。何为度量？它就像一颗小种子在这个阶段已经悄然种下了，种在孩子们的大脑当中，种在孩子的生命当中。在二维度量的时候，这个小种子会萌芽，会生长。到三维度量的时候，这个已经萌芽生长的小树苗，会持续地发展壮大。所以整个的这个过程，其实就是我们的教学要聚焦的本质，让核心的数学观念持续地生长和发展！在儿童的脑海中，度量观念从“种子”活泼泼地长成一棵“大树”！

这是代数发生学的课程树，整个小学课程关注的无非是自然数、小数、分数，它们的诞生、比大小、四则运算，今天我们不多说。

到了中学阶段，有了代数式或函数，我们会发现自然数、小数、分数、实数、代数式的核心问题只有这几个。我们整个学习的历程，仍然是先种下一颗优良的种子，最最优良的种子。岁月之中，只是顺其自然，如期所示的正常生长发展就好。

中学阶段，在这个基础之上，我们面临三个一次：一次函数，一元一次方程，一元一次不等式。函数、方程、不等式，三位一体。而不是先学一元一次方程，再学一元一次不等式，再学一次函数，它们之间看上去好像是毫无关系的三个难兄难弟，并不是这样。这样三位一体的思想，到了三个二次的时候会继续生长。到了高中的时候，学习幂、指、对，学三角函数时，这样的思想再一次会获得升级。它们到底怎么样从种子到大树长大的呢？下面请两位同学，把他们的探索过程分享给大家。

△九年级橄榄树教室瀚同学分享

△十年级River教室辛巴同学分享

（详情见末尾原文链接） ‍‍‍‍‍‍‍‍‍

谢谢两位同学的演讲。辛巴同学是高一年级，后面还有两年半的学习，后面三位一体的思想还会有怎样的发展，值得期待。

华罗庚，华老说，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。传统的教学可能在临近高考的时候，试图通过一些专项训练让孩子们形成数形结合的能力，很显然，这是难以抵达的。

所有的数学观念，最初都必须把一颗活泼泼的种子埋下，然后才能在岁月中长成一棵大树。数学观念既然是在每一个孩子的脑海中生长，所以这里的发生学，就不仅仅意指一个数学观念的发生学，而是最最本质上意味着生命的发生学。我们相信每个儿童，每个老师，在教师、知识、儿童，三位一体的教育场域之中，都能够从种子到树，经历一场活泼泼的如其所示的生长的旅程，发展的旅程！这就是“玩游戏，学数学”希望建构的数学教育发生学。

数学教育发生学背后的哲学原理，就是试图建立教与学的意识的联结。首先是教师之教的意识，其次是学生之学的意识，他们既相互独立又密切相关。他们如何形成有机的联系，是数学教育发生学研究的重点。从教师之教的意识讲，首先要激活的是教师之教的内容意识，其次是要激活教师之教的学生意识。在这两个意识初步激活的基础之上，教师才有可能定制挑战单，这个挑战单我们将其称为初级好问题。然后孩子们围绕这个初级好问题，独立的像数学家一样的去探索去挑战，初步激活学生之学的意识。在这个基础之上，教师再整理孩子的挑战单，明确孩子的若干典型问题。将这些典型问题称为高级好问题，高级好问题直接进入课堂对话，通过课堂对话真正激活两个意识。以教师之教的意识激活学生之学的意识，从而有效的建立教与学的意识的联结。

整个的过程就是从先验发生学到个体发生学，到数学教育发生学，这就是“玩游戏，学数学”想要探索的道路，这条道路很显然并不好探索。我们把它命名为“林中路”，最后我愿意以“路”命名，把这首小诗送给大家。

（点击下方图片跳转至《玩游戏·学数学 | 数学教育“林中路”——王志江校长在新教育实验数学学科“玩游戏、学数学”专题研讨会闭幕式上的致辞》）

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