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下图源自：我在向日葵里找到了黄金比例！斐波那契数列与自然

螺旋线的条数是斐波那契数

下图源自：我在向日葵里找到了黄金比例！斐波那契数列与自然 a + b a = a b = 5 − 1 2 = 0.61818 ⋯ \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61818\cdots aa+b​=ba​=25 ​−1​=0.61818⋯

α β = 5 − 1 2 = 0.61818 ⋯ \frac{\alpha}{\beta}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61818\cdots βα​=25 ​−1​=0.61818⋯ 大多数植物在生长过程中，后一时间间隔生长叶片与前一时间间隔生长的叶片之间的角度是一个定值，即发散角是一个定值，这个值一般为黄金角137.51°

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特征值告诉我们斐波那契数列增长有多快

假设我们求 F 100 F_{100} F100​，如果代入上式求会比较麻烦，线性代数给我们提供了一种简便方法

u k + 1 \boldsymbol{u}_{k+1} uk+1​ 和 u k \boldsymbol{u}_{k} uk​ 的关系 u k + 1 = A u k \boldsymbol{u}_{k+1}=A\boldsymbol{u}_k uk+1​=Auk​

u k \boldsymbol{u}_{k} uk​ 和 u 0 \boldsymbol{u}_{0} u0​ 的关系 u k = A k u 0 \boldsymbol{u}_k=A^k\boldsymbol{u}_0 uk​=Aku0​

求解矩阵 A A A 的特征值 λ 2 − λ − 1 = 0 \lambda^2-\lambda-1=0 λ2−λ−1=0 一元二次方程的根 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​ 特征向量 x ⃗ 1 = [ λ 1 1 ] 、 x ⃗ 2 = [ λ 2 1 ] \vec{x}_1=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ 1\end{bmatrix}、\vec{x}_2=\begin{bmatrix}\lambda_2\\ 1\end{bmatrix} x 1​=[λ1​1​]、x 2​=[λ2​1​]

两个特征向量经过线性组合得到向量 u 0 \boldsymbol{u}_0 u0​

u 0 = 1 λ 1 − λ 2 ( x ⃗ 1 − x ⃗ 2 ) \boldsymbol{u}_0=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}(\vec{x}_1-\vec{x}_2) u0​=λ1​−λ2​1​(x 1​−x 2​) u 100 = A 100 u 0 = A 100 ( 1 λ 1 − λ 2 ( x ⃗ 1 − x ⃗ 2 ) ) = A 100 x ⃗ 1 − A 100 x ⃗ 2 λ 1 − λ 2 \boldsymbol{u}_{100}=A^{100}\boldsymbol{u}_0=A^{100}\bigg(\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}(\vec{x}_1-\vec{x}_2)\bigg)=\frac{A^{100}\vec{x}_1-A^{100}\vec{x}_2}{\lambda_1-\lambda_2} u100​=A100u0​=A100(λ1​−λ2​1​(x 1​−x 2​))=λ1​−λ2​A100x 1​−A100x 2​​

A 100 x ⃗ 1 = λ 1 100 x ⃗ 1   A 100 x ⃗ 2 = λ 2 100 x ⃗ 2 A^{100}\vec{x}_1=\lambda_1^{100}\vec{x}_1\\ ~\\ A^{100}\vec{x}_2=\lambda_2^{100}\vec{x}_2\\ A100x 1​=λ1100​x 1​ A100x 2​=λ2100​x 2​

[ F 101 F 100 ] = u 100 = A 100 x ⃗ 1 − A 100 x ⃗ 2 λ 1 − λ 2 = λ 1 100 x ⃗ 1 − λ 2 100 x ⃗ 2 λ 1 − λ 2 = λ 1 100 [ λ 1 1 ] − λ 2 100 [ λ 2 1 ] λ 1 − λ 2 \begin{bmatrix}F_{101}\\ F_{100}\end{bmatrix}=\boldsymbol{u}_{100}= \frac{A^{100}\vec{x}_1-A^{100}\vec{x}_2}{\lambda_1-\lambda_2}= \frac{\lambda_1^{100}\vec{x}_1-\lambda_2^{100}\vec{x}_2}{\lambda_1-\lambda_2}= \frac{\lambda_1^{100}\begin{bmatrix}\lambda_1\\ 1\end{bmatrix}-\lambda_2^{100}\begin{bmatrix}\lambda_2\\ 1\end{bmatrix}}{\lambda_1-\lambda_2} [F101​F100​​]=u100​=λ1​−λ2​A100x 1​−A100x 2​​=λ1​−λ2​λ1100​x 1​−λ2100​x 2​​=λ1​−λ2​λ1100​[λ1​1​]−λ2100​[λ2​1​]​

我们求得是 F 100 F_{100} F100​

F 100 = λ 1 100 − λ 2 100 λ 1 − λ 2   λ 2 100 = ( 1 − 5 2 ) 100 ≈ 0   F 100 ≈ λ 1 100 λ 1 − λ 2 = 1 5 ( 1 + 5 2 ) 100 F_{100}=\frac{\lambda_1^{100}-\lambda_2^{100}}{\lambda_1-\lambda_2}\\ ~\\ \lambda_2^{100}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{100}\approx 0\\ ~\\ F_{100}\approx \frac{\lambda_1^{100}}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{100} F100​=λ1​−λ2​λ1100​−λ2100​​ λ2100​=(21−5 ​​)100≈0 F100​≈λ1​−λ2​λ1100​​=5 ​1​(21+5 ​​)100

斐波那契数列的通项公式 F n = λ 1 n − λ 2 n λ 1 − λ 2 = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] F_{n}=\frac{\lambda_1^{n}-\lambda_2^{n}}{\lambda_1-\lambda_2}= \frac{1}{\sqrt{5}}\bigg[\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^n-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^n\bigg] Fn​=λ1​−λ2​λ1n​−λ2n​​=5 ​1​[(21+5 ​​)n−(21−5 ​​)n]

lim ⁡ n → ∞ F n F n + 1 = 5 − 1 2 ≈ 0.618 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n}}{F_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618 n→∞lim​Fn+1​Fn​​=25 ​−1​≈0.618