作者：小海考研人

在考研数学线性代数中，秩为1的矩阵具有特殊意义，往年常考察其相关知识点。

其一是秩为 1 矩阵的特征值，特征值的计算是一个基本考点，其计算方法很多，包括：根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法，同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题。下文将对秩为1的特殊矩阵的特征值的计算方法做些分析，并提供典型例题供大家参考。

其二是秩为1矩阵是否能相似对角化，知道结论可以秒出结果。

其三是将秩为1矩阵拆为两列向量的乘积，在很多大题中常会用到。

若 n n n 阶矩阵 A = ( a i i ) A=\left( a_{ii} \right) A=(aii​) 的秩为 1，则 A A A 的特征值为 λ 1 = λ 2 = ⋯ λ n − 1 = 0 \lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0 λ1​=λ2​=⋯λn−1​=0 当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0 ∑i=1n​aii​​=0 时，0为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值；当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0 ∑i=1n​aii​=0 时，0为 A A A 的 n n n 重特征值。这个结论可以用不同的方法证明（需要重点掌握）

证：法1（方程组法）

若 R ( A ) = 1 R(A)=1 R(A)=1 ,则 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的基础解系含 n − 1 n-1 n−1 个线性无关解向量，由于 A x = 0 = 0 ⋅ x Ax=0=0 \cdot x Ax=0=0⋅x，所以这 n − 1 n-1 n−1 个线性无关的解向量都是属于特征值0的特征向量，因此0至少是 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值。

设 λ 1 = λ 2 = ⋯ λ n − 1 = 0 \lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0 λ1​=λ2​=⋯λn−1​=0，则由特征值的性质 λ 1 + λ 2 + ⋯ λ n − 1 + λ n = ∑ i = 1 n a i i \lambda _1+\lambda _2+\cdots \lambda _{n-1}+\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}} λ1​+λ2​+⋯λn−1​+λn​=∑i=1n​aii​ 得： λ n = ∑ i = 1 n a i i \lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}} λn​=∑i=1n​aii​ 。由此可知：

当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0 ∑i=1n​aii​​=0 时，0为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值；当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0 ∑i=1n​aii​=0 时，0为 A A A 的 n n n 重特征值.

法2（特征方程法）

若 R ( A ) = 1 R(A)=1 R(A)=1 ，则 A A A 的列向量组的秩为 1，不妨设 A A A 的第一列为 α = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) T ≠ 0 ( a 1 ≠ 0 ) \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T} \neq 0 \quad\left(a_{1} \neq 0\right) α=(a1​,a2​,⋯,an​)T​=0(a1​​=0)，则其它列均可由 α \alpha α 线性表示，于是 A A A 可表示为：

A = ( b 1 α , b 2 α , ⋯   , b n α ) = α β T A=\left(b_{1} \alpha, b_{2} \alpha, \cdots, b_{n} \alpha\right)=\alpha \beta^{T} A=(b1​α,b2​α,⋯,bn​α)=αβT，其中 b 1 = 1 , β = ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n ) T b_{1}=1, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T} b1​=1,β=(b1​,b2​,⋯,bn​)T

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − a 1 b 1 − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n − a 2 b 1 λ − a 2 b 2 ⋯ − a 2 b n ⋮ ⋮ ⋮ − a n b 1 − a n b 2 ⋯ λ − a n b n ∣ |\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -a_{2} b_{1} & \lambda-a_{2} b_{2} & \cdots & -a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} b_{1} & -a_{n} b_{2} & \cdots & \lambda-a_{n} b_{n}\end{array}\right| ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​λ−a1​b1​−a2​b1​⋮−an​b1​​−a1​b2​λ−a2​b2​⋮−an​b2​​⋯⋯⋯​−a1​bn​−a2​bn​⋮λ−an​bn​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ∣ λ − a 1 b 1 − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n − a 2 a 1 λ λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ − a n a 1 λ 0 ⋯ λ ∣ =\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -\frac{a_{2}}{a_{1}} \lambda & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -\frac{a_{n}}{a_{1}} \lambda & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right| =∣∣∣∣∣∣∣∣∣​λ−a1​b1​−a1​a2​​λ⋮−a1​an​​λ​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= λ − ∑ i = 1 n a i b i − a 1 b 2 ⋯ − a 1 b n 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ =\begin{array}{|cccc|} \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array} =λ−∑i=1n​ai​bi​0⋮0​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​

= λ n − 1 ( λ − ∑ i = 1 n a i b i ) =\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right) =λn−1(λ−i=1∑n​ai​bi​)

故： λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n − 1 = 0 , λ n = ∑ i = 1 n a i b i \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} λ1​=λ2​=⋯=λn−1​=0,λn​=∑i=1n​ai​bi​

由于 A = ( a i b j ) = ( a i i ) , A=\left(a_{i} b_{j}\right)=\left(a_{i i}\right), A=(ai​bj​)=(aii​), 所以 a i i = a i b i , a_{i i}=a_{i} b_{i}, aii​=ai​bi​, 故 λ n = ∑ i = 1 n a i b i = ∑ i = 1 n a i i \lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} λn​=∑i=1n​ai​bi​=∑i=1n​aii​

由此可知 , , , 当 ∑ i = 1 n a i i ≠ 0 \sum_{i=1}^{n} a_{i i} \neq 0 ∑i=1n​aii​​=0时, 0 为 A A A 的 n − 1 n-1 n−1 重特征值 ; ; ; 当 ∑ i = 1 n a i i = 0 \sum_{i=1}^{n} a_{i i}=0 ∑i=1n​aii​=0 时 , 0 , 0 ,0 为 A A A 的 n n n 重特征值。

若 A n × n , A_{n \times n}, An×n​, 且 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1