在计算机科学中，忙碌的海狸（Busy Beaver）是一个在给定参数后，寻找可能产生的最大输出的可终止程序。忙碌的海狸游戏包括设计一个可终止的，只输出0或1的图灵机，让其在一条纸带上尽可能多的输出1.

包含两个状态的忙碌的海狸游戏有下面两条规则：

玩家需要设计出可能输出最多1的状态转换表格，同时也要确保图灵机是会终止的。

能赢得n个状态的忙碌的海狸游戏的图灵机，称为第n个忙碌的海狸，或者用BB-n表示(BB是英文忙碌的海狸的缩写)。BB-n，是在所有n个状态的图灵机里面，可以输出最多的1的。比如BB-2，可能通过6次状态转换输出4个1。

忙碌的海狸游戏是由匈牙利的数学家Tibor Radó在1962年发表的论文《On Non-Computable Functions》中提出的。

假设有一排无限房间的旅馆，每个房间里面都装了一盏灯和一个开关。最初，所有房间的灯都是关的（状态0）。一个机器人管家从其中某一个房间开始工作。进入房间后，它的行为只能是选择开灯或关灯，然后移到相邻的左边或者右边房间去。

这个机器人可以处于若干个预先设定的状态中。在不同的状态下，它会根据房间灯的开关情况，选择不同的行为和下一步的状态。

游戏开始后，这个“工作”态机器人进入某个房间后，开一盏灯，然后移到左边的房间并转换到“停止”态，游戏结束。我们可以验证，无论你如何设计机器人的行为(64种可能)，在只有一种状态的约束下，机器人最多只能打开一盏灯，所以 Σ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Sigma (1)=1}  。

对于以上两种状态的机器人，如果它初始态是“惊恐”，从它进入某一个房间开放，它便会打开房间的灯然后移到左边的房间。然后继续开灯，向左移，无限循环下去。这样的状态设定是不符合忙碌的海狸必须可以终止的条件。同理，如果它的初始态是“正常”，它也会无限向左移，并不属于忙碌的海狸。

下面我们看另外一种两个状态的机器人。

这样的状态“1”机器人，从某个房间开始，可以进行6次移动，最终打开四盏灯（左边2个房间，开始的房间，和右边的一个房间），回到最左边的房间并停止游戏。2个状态的机器人，全部有 ( 2 × 2 × 3 ) 2 × 2 = 20736 {\displaystyle (2\times 2\times 3)^{2\times 2}=20736}  种行为设计，其实最多开灯的设计是4盏，所以 Σ ( 2 ) = 4 {\displaystyle \Sigma (2)=4}  。

3个状态的机器人，可以通过14次移动，最多打开6盏灯 Σ ( 3 ) = 6 {\displaystyle \Sigma (3)=6}  。

4个状态的机器人，可以通过107次移动，最多打开13盏灯， Σ ( 4 ) = 13 {\displaystyle \Sigma (4)=13}  。

4个更多状态的机器人，目前还不能计算出忙碌的海狸的函数值，比如目前我们猜测 Σ ( 5 ) ⩾ 4098 {\displaystyle \Sigma (5)\geqslant 4098}  ，但还不能确认。

忙碌的海狸函数，又称为BB函数，或者Radó Sigma函数，记做 Σ ( n ) {\displaystyle \Sigma (n)}  或者BB(n),是n个状态的忙碌的海狸图灵机的最大输出。这一个增长特别快的函数，是一个非常著名的不可计算函数。Radó证明了这个函数最终会超过全部的可计算函数。

Σ ( n ) {\displaystyle \Sigma (n)}  还可以定义为集合 T = { n 1 , n 2 , ⋯ , n k } {\displaystyle T=\{n_{1},n_{2},\cdots ,n_{k}\}}  中最大的数，这个集合包括了n个状态的2色图灵机全部的输出。集合 T {\displaystyle T}  的大小不超过 ( 4 n + 4 ) 2 n {\displaystyle (4n+4)^{2n}}  （这是n个状态的全部图灵机数量）。

更普遍的， Σ ( n , m ) {\displaystyle \Sigma (n,m)}  表示n个状态，m个颜色的忙碌的海狸图灵机。

在下面的表格中，列代表了当前的状态，行代表了当前从纸带读取的标记。表格中的每一项有三个字母，分别表示向纸带写的标记，移动的方向和下一步的新的状态。终止态用H代表。

每个图灵机都从状态A开始，纸带无限长且初始值都是0。

结果指示: (启始位置 1, 结束位置 1)

结果: 0 0 1 0 0 (1 步, 一个 "1" )

结果: 0 0 1 1 1 1 0 0 (6 步, 四个 "1")

结果: 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 (14 步, 六个 "1").

结果: 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 (107 步, 十三个 "1",见图)

结果: 4098 个"1"中间隔 8191 个"0"。 47,176,870 步。

结果: ≈3.515 × 1018267 个"1" ≈7.412 × 1036534 步。