408计算机组成原理学习：浮点数

类似于科学计数法

阶码：常用补码或移码表示的定点整数 尾数：常用原码或补码表示的定点小数 类比十进制：+302657264526 = +3.026 * 10^+11 可记为：+11 +3.026

阶符表示阶码的正负，即小数点前移还是后移

浮点数的真值： N = r^E × M 阶码 E 反映浮点数的 表示范围 及小数点的实际位置； 尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度 。 阶码的长度一般是固定的 Eg: a = 0,01; 1.1001 b = 0,10; 0.01001 a的真值 = 2^1 ×(−0.0111) = −0.111 b的真值 = 2^2 ×(+0.01001) = +1.001

+11 +3.026 也可记为： +14 +0.003(尾数的最高位是无效值，会丧失精度)

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值 。 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减1。 通过算数左移、阶码减1 来规格化

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算数右移一位，阶码加1。 通过算数右移、阶码加1 来规格化

规格化的原码尾数，最高数值位一定是1 规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反

注：补码算数左移，低位补0；补码算数右移，高位补1。

移码的定义：移码 = 真值+偏置值 8位移码的偏置值=128D=1000 0000B，即2^(n-1) 偏置值一般取 2^(n-1) ，此时移码 = 补码符号位取反

Eg: 真值 -127 = -1111111B 移码 = -1111111 + 10000000 = 0000 0001

在IEEE 754中 令偏置值=127D=0111 1111B，即2^(n-1) -1 Eg: 真值 -128 = -1000 0000B 移码 = -1000 0000 + 01111111 = 1111 1111

阶码全1、全0用作特殊用途 所以短浮点数的真值正常范围：-126~127

阶码真值=移码-偏移量 规格化的短浮点数的真值为：(−1)^s ×1.M×2^(E−127),E - 127为阶码的真值 规格化长浮点数的真值为：(−1)^s ×1.M×2^(E−1023)

当阶码E全为0，尾数M不全为0时，表示非规格化小数 ±(0.xx…x)₂ ×2^-126 当阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值 ±0 当阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大 ±∞ 当阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值 “NaN

由浮点数确定真值（阶码不是全0、也不是全1）：

浮点数加减运算步骤： ① 对阶 使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1 ② 尾数加减 ③ 规格化 ④ 舍入 "0"舍"1"入法： 类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。 恒置“1”法： 尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

⑤ 判溢出 若规定阶码不能超过两位，则运算后阶码超出范围，则溢出 Eg: 已知十进制数X=−5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X−Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

用补码表示阶码和尾数

Eg:

范围、精度从小到大，转换过程没有损失