粗差是指离群的误差[1]。处理测量中的粗差影响一直是测绘数据处理理论的研究热点。目前主要形成了两种不同的粗差处理模式：将粗差纳入函数模型，沿着巴尔达提出的粗差数据探测(data snooping)[2]，该方法将观测值粗差的出现视为观测值的数学期望产生了平移，但方差不变；将粗差纳入随机模型，引进统计学中的抗差估计(robust estimation)[3-4]，该方法将粗差观测值看成是观测值的数学期望不变，方差异常。文献[5]在函数模型基础上，根据被观测量的独立观测数判断其观测值能否容忍粗差，提出了一种基于局部分析法的粗差探测法。

随着观测量的不断增多，出现多个粗差观测值的概率将会增大，研究多个粗差的探测、识别和处理具有重要意义[6]。基于统计学原理的粗差探测和定位方法主要包括：数据探测法(data snooping)[2]、多维粗差的同时定位与定值法(the method of simultaneous locating and evaluating multidimensional gross errors,LEGE)[7]、拟准检定法(quasi-detection of gross errors,QUAD)[8-10]、部分最小二乘法或预测残差法(partly least squaes,PLS)[11-12]等。针对上述4种粗差探测和定位方法的异同，文献[13]对均值漂移模型数据探测法和LEGE法的原理、方法和粗差探测过程进行了比较，证明两者在原理上基本等价，探测结果基本相近。文献[14]对独立等精度情形下部分最小二乘法和QUAD法进行了比较，得出其结果具有相同效果。文献[15]讨论了拟准检定法、LEGE法和部分最小二乘法在独立等精度时，粗差估值具有等价性，相关时有一定差异。

本文以粗差观测值定位一致前提下，基于均值漂移模型探讨粗差估值公式，导出观测值统计相关时平移参数的简明表达式。通过对LEGE法、QUAD法和PLS法的进一步分析，证明了LEGE法、QUAD法、PLS法这3种方法与数据探测法在粗差估值方面的异同。理论上给出了4种方法在观测值统计相关、独立(等权和不等权)情形下的估值公式及其差异，揭示了4种方法的理论本质和内在联系。

对于线性误差方程式

式中，V为n1维残差向量；A为秩rank(A)=u的nu阶设计矩阵；$\hat{x}$为u1维的未知参数向量；l为n1维观测值向量；P为nn阶观测值权阵，且P=Q-1ll=σ20(D(l))-1为观测权矩阵。按照均值漂移模型原理，不妨将观测值l分为l1和l2两组，第1组观测值l1不含粗差，其维数为n1，第2组观测值l2含有粗差ΔS，其维数为n2。ΔS视为观测值l2的均值漂移参数向量，即[16]

则式(1)变为

设H=[0 E]T，E为n2×n2单位阵。式(3)可表示为

根据最小二乘原理得到估值[16]

式中，QVV=P－1－A(ATPA)－1AT；R=I－A(ATPA)－1ATP[17]。

顾及粗差的未知参数x的估值为[16]

由附录的结果代入式(7)，可得

顾及附录式(3)′，则式(5)可以表示为

式中，。

由式(9)可以看出，按照最小二乘原理求解观测值l2数学期望平移参数，实质上是由第1组不含粗差的观测值l1求解未知参数的最小二乘估值${{{\hat{x}}}_{\nabla }}$，再由其计算观测值l1、l2的估值${{{\hat{l}}}_{1}}$、${{{\hat{l}}}_{2}}$，然后计算观测值l2的均值平移参数${\hat{\nabla }}$ S。式(9)与文献[18]形式相同，但推导过程更加简单。

文献[11]将部分最小二乘法应用于粗差的定位与定值，式(1)可表示为

假设观测值l2含粗差，现仅采用未受粗差污染的观测值l1，根据部分最小二乘准则V1TQ11－1V1=min，得到未知参数估值

受污染的观测值l2对应的预测残差为[19]

此预测残差即为粗差的估值[11, 18]。

比较式(12)和式(9)可以看出，如果两组观测值l1、l2相互独立，则有Q12=Q21T=0，于是

因此数据探测法计算的粗差估值与部分最小二乘计算的粗差估值具有等价性。

如果两组观测值l1、l2不独立，则有Q12=Q21T≠0，均值平移模型计算的粗差估值与部分最小二乘计算的粗差估值不相等，两者差值为

应用最小二乘准则VTPV=min对误差方程式求解可以得到[17]

R为幂等矩阵，且满足[10]

对于高斯马尔科夫模型而言，其理论模型为

式中，Δ为观测值的真误差。

式(17)两边左乘矩阵R得[10]

结合矩阵R的性质得到

如果将Δ视为未知参数，得到秩亏Gauss-Markov模型[6]

于是式(19)的最小(加权)范数解为[10, 20]

注意到PR是RP－1的对称自反g逆[20]，易得验证式(20)中(RP－1RT)－=PR[10]。

式(20)两边乘以ATP得

因此经典最小二乘法的余差V数值上与方程RΔ=－Rl关于Δ的最小(加权)范数解相同。当存在粗差时，限制是一种强制约束条件，如果用这个条件求解，必然会使结果扭曲[8-9]。

为了求解秩亏方程，选择r(r≥u)个拟准观测值，拟准观测范数极小条件[9-10]

选第一组观测值l1为拟准观测值，则有

式中，对应的权矩阵。

式(23)等价于

于是将式(18)和式(24)联立，得到方程[8]

式中，，其解为

式中，${{{\hat{\vartriangle }}}_{^{2}}}$为受粗差污染观测值l2的真误差估值[9-10]。

现对前面的部分最小二乘法进行分析，式(11)代入式(12)整理得到[15]

式(27)中矩阵，可以表示为

由于RA=0，所以式(28)为

于是式(27)可表示为

比较式(30)和式(26)可知，用QUAD法解算的粗差估值和用部分最小二乘解算的结果一致。

如果两组观测值l1、l2相互独立，则Q12=Q21T=0，所以数据探测法的粗差估值与QUAD法计算的粗差估值等价。如果两组观测值l1、l2不独立，则有Q12=Q21T≠0，数据探测法的粗差估值与QUAD法的粗差估值不相等，两者差值为

将平差因子阵、真误差分为两部分[7]，于是式(18)可表示为

假设l2为受粗差污染的观测值，且R2Δ2对于观测值残差V的影响远大于R1Δ1[7]。于是略去式(32)中R1Δ1的影响，得到近似关系[7]

从式(33)可以看出，在进行解算时，首先假定Δ1=0，然后按照最小二乘准则，其估值为[7]

式(34)为受粗差污染观测值l2的真误差估值，表现为粗差的影响[7]。

由式(16)可得到[15]

所以

于是式(9)可以表示为

由LEGE法的假设Δ1=0可以看出，在解算的过程中，认为第1组观测值或。所以分析比较式(37)和式(34)可以看出，LEGE法与QUAD法或部分最小二乘法比较，一方面没有顾及两组观测值的相关性，而且其解算将第一组的平差值用观测值作为近似。文献[15]通过仿真试验，得到粗差定位一致时，QUAD法或部分最小二乘法得到的粗差估值结果较LEGE法的粗差估值结果精度更高、更为准确。

设观测值为独立等权，则Q21=Q12T=0、Q11=Q22=I，于是有[15]

式中，M=(A1TA1+A2TA2)－1。

将式(39)代入式(34)得

对式(37)进一步分析

比较式(40)和式(41)可以看出，当观测值之间为独立等权时，LEGE法和数据探测法的粗差估值具有等价性。

从而可以得出，对于独立等权观测值而言，4种粗差的估值具有严格的等价关系。

算例1取文献[21]中水准网如图 1所示。设观测值为6个观测高差，设已知点高程为1000m，观测值的协因数矩阵为

假设高差观测值l1中存在粗差，加入不同大小粗差，计算结果如表 1所示。

由于高差观测值l1的MDB(minimal detectable bias)为2.98m，所以对于粗差小于其值的观测值，无法实现粗差的定位，具体讨论详见文献[21]，表 1中的MDB、多余观测分量ri和可控性数值C0等计算详见文献 [21-22]，限于篇幅，此略。

现设计3种试验方案，方案1为观测值统计相关的情形，其协因数阵Ql为非对角阵；方案2仅取Ql的对角线元素的对角阵，即观测值统计独立不等权；方案3取协因数阵Ql为单位阵，即观测值统计独立等权，试验结果如表 2所示。

从表 2计算结果可以看出，①当观测值中含有单个粗差，在能够正确定位粗差的情况下，部分最小二乘粗差估值和拟准鉴定法粗差估值相同，说明两种方法具有等价性和一致性；②从结果可以看出，在观测值统计相关情形下，数据探测法计算的粗差估值与部分最小二乘和拟准检定法的粗差估值结果差，说明了数据探测法的粗差估值和部分最小二乘、拟准检定法不一致；③从解算结果比较可以看出，LEGE方法计算的粗差估值和真值差异较大，也从数值结果说明了其他几种方法比LEGE法在粗差估值求解中具有更高的准确性；④随着粗差的增大，粗差估值与真值的差异相对更接近，说明粗差越大，其粗差估值与真值越接近；⑤当观测值统计独立不等权时，部分最小二乘法、拟准鉴定法和数据探测法的粗差估值的相同，而与LEGE法不同；⑥当观测值统计独立等权时，4种方法的粗差估值等价一致。

算例2 取文献[6]中的GPS基线向量网，A和B为控制点，C、D、E和F是待定点。总共观测了13条独立基线，多余观测量为27个。控制点A和B的坐标和GPS网中各条基线向量的有关数据见文献[6]，在此略。

为比较几种方法在粗差估计方面的情况，将0.4m、-0.3m、-0.2m、0.3m和-0.4m共5个模拟粗差分别加在第5、15、21、31和第37号5个观测值上[20]。不同方法计算的粗差估值比较见表 3。从表 3的GPS网数据解算结果也可以看出几种方法的相互关系，其关系与前面理论分析一致。

在粗差定位一致的前提下，理论分析表明：①在观测值统计相关时，部分最小二乘法和QUAD法在粗差估值的计算上具有等价性；②在观测值统计相关时，数据探测法和部分最小二乘法、QUAD法两种方法在粗差估值上不一致，其粗差的估值差异均为；当观测值独立不等权时，3种方法具有等价性；③对于LEGE法，在观测值统计相关、统计独立不等权两种情形下，其结果和其他3种方法在粗差估值上都不同，该方法在解算粗差估值上，一方面没有顾及两组观测值的相关性，而且由于将第一组的平差值采用观测值近似，相比之下计算精度更低；④当观测值统计独立等权时，4种方法在粗差估值计算上具有等价性。

由于本文限于粗差已准确定位，这些方法的粗差探测和定位性能还有待深入研究。