高等数学的学习躲不过中值定理，而这部分内容又是有些难度，由于检索相关三大微分中值定理定理的证明并没有满意的文章，便自己整理了一篇供自己参考，希望也能为各位读者提供一些帮助！

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点， 又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f’(ξ)=0。

注：证法不唯一

通过一段时间的中值定理相关证明题的学习，不难发现辅助函数的构造在解题中的重要性。

1. 知乎拉格朗日定理证明 2. 百度知道