原创 周国全 物理与工程

摘 要

依据波动光学的原理，重新分析与讨论了双光束平行平面波在给定观测屏上的干涉现象及条纹分布规律；尤其针对现行教材已有结论，推导了平行条纹的合成间隔与空间频率公式；同时指出并证明了在坐标系绕观察屏法向作定轴转动时存在一个转动不变量；并更进一步分析与讨论了空间三维干涉场等光强面的类似的分布规律与不变量；指出这些结论对于光学教学研究与光栅制作的可能应用与参考意义。

关键词 光学干涉；平行光干涉；条纹间隔；空间频率；转动不变量；等光强面

Abstract According to optical wave theory, the interference phenomenon and the distribution laws of fringes of two parallel plane waves on the measuring screen are analyzed and rediscussed. Especially, according to the existing conclusions in the current textbooks, the formulae of resultant interval of neighboring fringes and space frequency are derived in two ways. At the same time, it is pointed out and proved that there is a rotation invariant when the coordinate system rotates around the normal axis of the observation screen. Furthermore, the distribution laws of equal-strength planes in three-dimensional interference field are analyzed and discussed. The possible application and reference function of these conclusions in teaching and researching activities are pointed out.

干涉现象是波动所独有的。不同光学干涉结构即用不同的方式满足干涉条件[1-12]。两列或若干列相干光波，频率相同，位相差恒定，振动方向一致，就能在空间相遇时相互叠加，产生干涉现象，其表现是在某些区域始终加强，在另一些区域则始终削弱，形成稳定的明暗条纹相互间隔的现象。相干光束的产生方式分为分波前式与分振幅式；按照干涉光束的数目分类，又分为双光束干涉与多光束干涉；而若按照场强与光程差函数的等值变量来分类，则分为等倾干涉与等厚干涉两种模式，例如迈克尔孙干涉仪和法布里-伯罗干涉仪。文献[5-8]论述了几种等厚干涉装置及其等效的变异干涉结构；文献[9-12]描述了两种分振幅式多光束等倾干涉结构——大顶角等腰劈与矩形腔干涉结构。文献[13]介绍了一种能产生分振幅式双光束干涉现象的正三角形干涉装置，文献[14-16]介绍了几种干涉结构的若干应用。双光束平行平面波在给定观测屏上的干涉条纹的分布规律，对于制作平面型余弦光栅具有重要指导意义，一般教科书已有明确结论和公式，其理论推导比较简单。然而本文对双光束平行平面波在给定观测屏上的干涉现象及条纹分布规律重新进行了更深入的分析与讨论；尤其针对已有结论，进一步推导了平行条纹的合成间隔与空间频率公式；指出和证明了在坐标系特定转动下存在一个转动不变量的数学规律；还更进一步分析与讨论了在抽走观察屏的情况下，干涉场空间等光强面的分布规律，以及存在一个三维转动不变量的结论。

1 光程差公式与干涉条纹的分布规律

关于两列平行平面波的干涉，实际上相当于两点源位于无穷远的情形，可用一束激光经过准直化、分束器和反射镜来实现[3，4]。

如图1所示，设两列同频率（ω 1=ω 2=ω）的单色平面波，波长为 λ，同时照射在 xOy 平面（即 z =0）波前平面上。设它们的振幅分别为 A 1 和 A 2，在坐标原点 O 处的初相位分别是 θ 10 和 θ 20，在空间直角坐标系 O-xyz 中，两束光波的波矢 k 1、k 2 的方向角分别为( α 1 , β 1 , γ 1 )和( α 2, β 2 , γ 2 ), 波矢大小相等 k 1 =k 2 = k = 2π/λ，两波矢方向的单位矢量及其方向余弦分别为

并满足归一化关系

于是在同一 t 时刻，z = 0 的波前上 r = ( x , y , 0 ) 处，两束波的相位分布为

此时在 r = ( x , y , 0 ) 处两列光波的相位差函数 δ ( x , y ) 为

则 z = 0 波前上的干涉强度分布函数为

式(4）~（5)表明干涉条纹随 x , y 线性分布，是一组等间隔平行直线，如图2所示，条纹方向由 ( cosα 2－cosα 1 )和( cosβ 2－cosβ 1 )之比决定。根据以下条件计算 x 、y 轴方向条纹间隔

由以上二式求出沿 x , y 轴两个方向的相邻条纹间距的绝对值，分别为

| Δx |、| Δy |的倒数代表单位长度的条纹数，分别称为沿 x , y 轴方向的空间频率。于是沿两方向的空间频率分别为

目前为止，得到的这些分布规律及其公式是现有教材体系已有的，本文更重要的目的是更深入和进一步地探讨平行平面波的干涉条纹的分布规律。

2 相邻平行条纹的合成（最小）间隔公式

一些教材没有给出相邻条纹间的总的合成间隔，即相邻平行条纹之间的最小间距。经过深入分析与探讨，本文给出并证明了相邻平行条纹之间的最小合成间隔公式。它并不是以上 Δx 、Δy 按照勾股定理合成的结果

。可以证明：在直角三角形 ABC 中，如图3所示，若两条直角边 CB =Δx , AC =Δy，斜边长 AB =c , 斜边 AB 的高线 CD =d，它就是相邻平行条纹之间的合成最小间隔, 则根据直角三角形的面积公式的两种表达式

可得 d = | Δx · Δy | /c，又据勾股定理 c =

，代入即得条纹间隔 d 为

变形即得一个重要的间隔关系式——倒数勾股定理

而可以证明合成空间频率 f 满足如下勾股定理

当然也可通过平面解析几何的点到直线的距离公式推导出式(13)~(14)。当

，对于给定的同一 t 时刻，观测屏上如下两条相邻的直线亮条纹

它们之间的间距 d 等于坐标原点到此二平行直线的垂直距离之差为

同样推导出式(13)，从而也能导出式(14)。

3 一个转动不变量及其意义

只要两束平行平面波的波长及其传播方向是确定不变的，就可以证明，在坐标系绕 z 轴转动时，1/( Δx )2+1/( Δy )2 是一个转动不变量，不随转角以及 Δx 、Δy 、f x 、f x 的变化而变化，因为 z = 0 的波前上条纹间隔 d 保持固定不变。兹证明如下

由于

( γ 为两波矢夹角)保持不变；在坐标系绕 z 轴转动时，γ 及 γ 1 、γ 2 也保持不变，亦即1/( Δx )2+1/( Δy )2 是一个转动不变量，虽然 Δx 、Δy 、f x 、f y 随 z 轴转动而发生变化。此转动不变量对应于二维平面 xOy 上的平行等间隔条纹分布的不变的空间频率之平方 1/d 2=f 2；这就是此转动不变量的物理意义。

4 更进一步分析与讨论——干涉等强度面及三维转动不变量

事实上，如果我们抽出观察屏，保持两束平行平面光波的空间位形与方向不变，可以发现，在两束光相遇点 r ( x , y , z )，两束光的相位差为 Δφ ( r ) = ( k 2－k 1 ) · r + ( θ 20－θ 10 )；令 Δφ ( r ) = φ ( r + Δr )－φ ( r ) = 2nπ；

，即可得到同一 t 时刻等相位差平面

而干涉场的等强度分布函数为

其具有干涉极大值的等强度平面波前（束）为 Δφ ( r ) = 2nπ；

，即

类似于式(6)~(9)的作法，可以求得相邻极大等强度面分别沿 x 、y 、z 方向的间隔为

其相邻极大等强度面之间的最小间隔 D 可如下求出。对于相邻等强度平面为 n = k，k +1的两个相互平行的平面，根据解析几何的点到平面的距离公式，坐标原点(0,0,0)到此二平面的距离之差为

其中用到了 λ = 2π/k 的事实。其相应的空间频率为 F = 1/D，不再赘述。这些平行而等间隔的等光强面的空间方位由其法向单位矢量 N 决定

同样可以证明，在此三维分布情形，依然存在如下一个类似于(19)的转动不变量

其中用到了式(2)。显然在空间直角坐标系 O-xyz 绕原点做任意定点转动的过程中，上式中

、

的夹角 γ 及入射波长 λ 都是保持不变的，虽然 Δx 、Δy 、Δz 随之变化，但三者的倒数之平方和保持不变，即式(28)是一个坐标系定点转动下的不变量，其物理意义是等光强面分布的空间频率的平方，与坐标系的定点转动无关。

5 结语

本文重新深入地分析和讨论了交叉型双光束平行平面波在给定观测屏上的干涉条纹的若干未曾明确表达的数学规律；给出最一般情形的平行条纹的合成间隔与空间频率公式；尤其指出并证明了在坐标系绕观察屏法向作定轴转动时存在一个转动不变量的结论。本文更进一步分析与讨论了撤除观测屏后空间三维干涉场等光强面的分布规律，并证明在坐标系绕原点做定点转动时同样存在一个转动不变量的结论。文中的这些结果与讨论望能有益于波动光学尤其是光学干涉的教学研究，并对于平面型与三维光栅的制备提供理论参考。

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基金项目: 国家自然科学基金项目资助：No.12074295。

通讯作者: 周国全，男，武汉大学副教授，研究方向为电磁场与光电子技术、非线性方程与孤子理论，[email protected]。

引文格式: 周国全. 再论两束平行平面光的干涉[J]. 物理与工程, 2022, 32(1): 25-29.

Cite this article: ZHOU Guoquan. Rediscuss Optical Interference of Double Parallel Plane Beams[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(1): 25-29. (in Chinese)

END

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原标题：《再论两束平行平面光的干涉》