单服务台模型 设输入过程服从泊松流，服务时间服从负指数分布，单服务台 （1）标准型：M\M\1\∞\∞（M\M\1） 符号解析： 顾客源符合泊松分布，到达时间间隔服从负指数分布 服务时间相互独立，都服从负指数分布 “1”代表单服务台 顾客源和顾客容量无限 状态变换表 现在考虑在t+Δt时刻有n个顾客，即状态为n，概率为Pn (t+Δt) 于是我们得到： 两端除以Δt,当Δt→0时 综上，我们已经得到了系统状态为n的概率的表达式。 如何计算数量指标？ i. 平均系统队长（包含正在被服务的那个对象） 在概率论中，平均值用数学期望来刻画。针对于队长来说，n的取值是非负整数，即是离散型的随机变量，所以我们使用离散型随机变量的均值计算公式： ii. 平均队列长（不包含正被服务的对象，且当前讨论的为单服务台） iii. 平均逗留时间 若一个顾客到达了系统，系统内已经有了k个顾客，（这个事件发生的概率即系统状态为k的概率P_k）则该顾客需要等候平均等待时间k/μ才能轮到被服务，而他本人的平均服务时间为1/μ，所以他在系统内花时间的平均值为(k+1)/μ 。

iv. 平均等待时间（平均逗留时间减去被服务的时间） c. Little公式 d. 稳态概率方程的简便写法 由上可知，稳态概率方程的求解步骤较为复杂，下面介绍一种简便的方法来写出稳态概率方程——状态转移图 针对讨论的模型M/M/1 我们引入“概率流”的概念，将系统的某一状态看做一个横截面，那么流入这个横截面的“水流量”必定等于流出这个横截面的“水流量”。 我们针对某一个截面，写出“水流守恒”表达式，要注意的是状态为0时的守恒需要单独给与表达式： （2） 系统容量有限型：M\M\1\N\∞ 模型含义：顾客到达时间服从泊松分布，到达时间间隔服从负指数分布，服务时间服从负指数分布，单服务台。但排队系统的容量是有限的N。 我们利用上述的状态转移图，稍作修改： 我们先根据上图写出状态转移方程 由于系统容量有限，所以顾客能否进入系统是与系统容量息息相关的。这里我们需要引入一个概念——有效到达率λ_e 而且由于系统的状态与系统容量相关，所以前面的状态归一性表达式也要发生变化： （3）顾客源有限型：M\M\1\∞\m 顾客源只有m个顾客，每个来到并接受服务后，仍然回到顾客整体，即可以再次到来接受服务，所以实际上排队系统中的顾客数永远不会超过m个，即与模型M/M/1/m/m意义相同 要注意的是这里仍然存在有效到达率的概念，根据上述的理解： λe=λ(m-Ls) 其中m-Ls表示还能允许的强度，λ表示每个人的强度，相乘得到有效的强度 然后利用归一性再重新计算P0和平均队长等指标即可。 （4） 排队论问题建模流程

多服务台模型 （1）标准型：M/M/c 顾客流为泊松流，每个窗口的服务率为μ，那么整个机构的平均服务率则有以下的两种情况： 平均服务率：nμ-----n＜c 平均服务率：cμ-----n≥c 令ρ=λ/cμ，称为系统服务强度，当ρ＞1时会出现排队现象 我们写出系统稳态概率方程： 之后根据P0解出数量指标即可。 （2） 系统容量有限型：M/M/c/N/∞ 当系统最大容量为N（N≥c），当系统客满时有c个接受服务，N-c在排队，在有顾客来会被拒绝服务，服务率的情况和系统服务强度同（1） （3） 顾客源有限型：M/M/c/∞/m 等价于M/M/c/m/m