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概率分布介绍：泊松分布
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概率分布介绍：泊松分布
泊松分布 (Poisson Distribution)定义代码
为什么泊松不得不发明泊松分布?为什么非得是泊松分布的形式呢？二项分布二项分布的缺点1. 二项随机变量
x
x
x是只有0或12. 二项分布中，实验次数
n
n
n应该提前知道
泊松分布的公式推导泊松分布的特点函数图像参考
泊松分布 (Poisson Distribution)
定义
假设在一定时间间隔 (interval)中一个事件可能会发生0,1,2,…次，在一个间隔中平均发生事件的次数由 λ \lambda λ决定， λ \lambda λ是事件发生比率 (event rate)。在一定时间间隔中发生 k k k次事件的概率如下： P ( k events in interval ) = e − λ λ k k ! P(k \text { events in interval })=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !} P(k events in interval )=e−λk!λk 代码使用from scipy import stats; stats.poisson.pmf(x,mu) 为什么泊松不得不发明泊松分布?当时主要的问题是预测未来中发生事件的次数，更正式地说，预测在固定间隔的时间里，预测该事件发生n次的概率。 “事件”可理解为一天中访问你网站的访客数、一天中所接到的电话数。 为什么非得是泊松分布的形式呢？例如：每周平均有15个人给我的博客点赞，我想预测下一周的点赞数。假设现在并不知道泊松分布，如何解决？可以试试二项分布 ([[Binomial Distribution]]) 二项分布如果使用二项分布来解决，令 x x x表示在 n n n次重复实验中发生点赞的次数， p p p表示每次实验的点赞概率(Probability)。我们现在已知的是每周平均的点赞比率(rate)为15个赞/周，并不知道点赞概率 p p p和博客访客数 n n n的任何信息。 因此，我们需要得到更多的信息 p p p和 n n n，来建模成二项分布问题。 假设过去的1年(=52周)的数据中，一共有10000人看了我的博客，其中有800个人点赞了。这样平均每周访客数= 10000 / 52 = 192 10000/52=192 10000/52=192，平均每周点赞数= 800 / 52 = 15 800/52=15 800/52=15。可得到概率 p = 800 / 10000 = 0.08 = 8 % p=800/10000=0.08=8\% p=800/10000=0.08=8% 使用二项分布的概率质量函数 (Probability Mass Function)，可预测下一周有20个人点赞的概率为： Bin ( m = 20 ∣ N = 192 , p = 0.08 ) = N ! ( N − m ) ! m ! p m ( 1 − p ) N − m = 0.04657 \text{Bin}(m=20 \mid N=192, p=0.08)= \frac{N !}{(N-m) ! m !} p^{m}(1-p)^{N-m} = 0.04657 Bin(m=20∣N=192,p=0.08)=(N−m)!m!N!pm(1−p)N−m=0.04657 二项分布的缺点 1. 二项随机变量 x x x是只有0或1上面的过程中，可以将 x x x=该周有15次点赞；也可以是 x x x=该天有(15/7)=2.1个赞；也可以是 x x x=该小时有(15/7*24)=0.1个赞。这意味着大多数小时没有赞，而有的小时有一个点赞。仔细想想，似乎一定时间内出现超过1个点赞的情况也是合理的（比如文章早上刚发布的时候）。由此，二项分布的问题是它无法在一个时间单元中包含超过1次的事件。（在这里，时间单元是1小时） 那么，我们将1小时切分成60分钟，时间单元是1分钟，使得1小时能够包含多个事件。问题得到解决了吗？还没有，比如何同学的5G视频，一晚上点赞就过百万，1分钟内不止一个赞。那我们再将时间单元切分成秒，这样1分钟又能包含多个事件。这样思考下去，我们会将已有的事件单元不断地切分，直到满足一个时间单元只包含一个事件，而大的时间单元能够包含1个以上的事件。 形式化来看，这意味着 n → ∞ n \to \infty n→∞，当我们假定比率(rate)固定，则必须让 p → 0 p \to 0 p→0。否则，点赞数 n × p → ∞ n \times p \to \infty n×p→∞ 基于以上的约束，时间单元变得无穷小。我们不用担心同一个时间单元包含一个以上的事件了。 2. 二项分布中，实验次数 n n n应该提前知道在用二项分布时，无法直接用比率(rate)来计算点赞概率 p p p，而是需要 n n n和 p p p才能使用二项分布的概率质量函数。而泊松分布不需要知道 n n n和 p p p。它假定了 n n n是一个无穷大的数，而 p p p是无穷小的数。泊松分布的唯一参数是比率 λ \lambda λ（即 x x x的期望）。现实中，得知 n n n和 p p p得进行很多次实验，而短时间内，比率（rate）很容易得到（例如，在下午2点-4点，收到了4个点赞）。 泊松分布的公式推导
泊松分布可看作是对稀有事件的建模，其中的比率 λ \lambda λ可以是任意的，但通常不要太小。 泊松分布是非对称的，通常往右偏移。 λ \lambda λ越大，分布图像越像一个正态分布。图像来自wiki
每个时间单元的事件平均发生比率是常数 例如：博客的每小时平均点赞数不太可能服从泊松分布，而博客每个月的平均点赞数可近似看作是固定的 事件是独立的 假如你的博客写的很好，被公众号转发推广了，那可能会有大批的读者来阅读，这种情况下的点赞数就不满足泊松分布了。 泊松分布和指数分布的关系若每个时间单元发生事件的次数服从泊松分布，那么两次事件发生间等待的时间服从指数分布。泊松分布是离散的，而指数分布是连续的，这两个分布紧密相关。 函数图像 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy import stats # Create x and y x = np.arange(35) y1 = stats.binom.pmf(x, 192, 0.08) y2 = stats.poisson.pmf(x,10) y3 = stats.poisson.pmf(x,17) y4 = stats.poisson.pmf(x,20) # Create the plot fig, ax = plt.subplots() plt.plot(x, y1, label='binomial(N=192, mu=0.08)', linewidth=3, color='black') plt.plot(x, y2, label='poisson(mu=10)', linewidth=3, color='royalblue') plt.plot(x, y3, label='poisson(mu=17)', linewidth=3, color='orange') plt.plot(x, y4, label='poisson(mu=25)', linewidth=3) # Make the x=0, y=0 thicker # ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, which='both') ax.axhline(y=0, color='k') ax.axvline(x=0, color='k') # Add a title plt.title('Probability Mass Function', fontsize=20) # Add X and y Label plt.xlabel('x', fontsize=16) plt.ylabel('f(x)', fontsize=16) # Add a grid # plt.grid(alpha=.4, linestyle='--') # Add a Legend plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12) # Show the plot plt.show()
Poisson Distribution — Intuition, Examples, and Derivation |
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