伽马分布

关键词：Gamma Distribution

在本文中，我们将探讨统计学中的基本概率分布之一“伽马分布”。我们将揭示它在连续随机变量建模中的重要性，并将其与泊松分布进行对比。通过了解其参数，例如形状和速率，并深入研究实际示例，例如预测患者到达牙科诊所。

Gamma 分布的核心是表示事件发生之前的时间概率，例如等待时间或某些产品的使用寿命。它由两个参数控制：形状 （ α） 和速率 （ β），它们分别影响其形状和比例。这里务必不要与泊松分布混淆。

离散随机变量与连续随机变量：泊松分布对固定时间间隔内发生的事件数进行建模，给定事件发生的平均速率（例如：到达的客户数量）。另一方面，Gamma 分布的目的是对连续随机变量进行建模，表示非负实数（例如等待时间、生存时间… 参数： 泊松分布由单个参数定义，通常表示为 lambda λ（表示事件的平均发生率）。伽马分布由两个参数定义：形状 （ α） 和速率 （ β）

伽马分布。图片来源：builtin/data-science/gamma-distribution 1/ 形状参数 Alpha：shape 参数描述分布描述的事件数 2/ 比例参数 Beta：比例参数描述我们正在建模的事件之间的时间间隔。 3/ 累积分配函数 （CDF）： Gamma 分布的 CDF 给出了随机变量 X 小于或等于某个值 x 的概率。它表示为 F（x），计算公式为：

伽马分布中的累积分布函数 （CDF）。图片来源： 瓦利德·苏拉博士 γ（α，βx） 是较低的不完全伽马函数。 Γ（α） 是 gamma 函数。 4/ PDF格式： Gamma 分布的概率密度函数 （PDF） 由下式给出：

x 是随机变量。 α 和 β 是形状和速率参数。 Γ（α） 是 gamma 函数。 5/ 期望值 6/ 方差

考虑牙科诊所的真实场景。患者根据泊松过程到达牙科诊所（这意味着患者的到达是相互独立的，并且随着时间的推移随机发生，没有任何固定模式或定期间隔），平均每小时 15 次。

让我们先计算一下前 10 位客户到达不到 3 分钟的概率！（我们可以使用伽马分布，因为我们正在对泊松过程中的等待时间进行建模） 在这种情况下：

形状参数 （α） （到达次数） 它是 3。 比例参数 （β） 为 60/15 或 （1/15）*60

前 3 位客户到达所需时间少于 10 分钟的概率：0.4561

在 3 位客户到达牙科诊所之前，平均需要多长时间？

距离第三位客户到达的平均时间为 12 分钟。

注意：如果你不想使用 Python，你可以在这里进行计算，也有很好的数据可视化： https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/gamma.html

当我们结束本文时，很明显，了解 Gamma 分布是预测事件随时间变化的关键。我们已经看到了它与泊松分布的不同之处，以及它在现实生活中的应用，例如预测患者到达牙医办公室的情况。但这里有一个想法值得深思！我们如何利用这些知识来进一步改进日常流程？