上一讲的最后提到可测集的全体与实数集的幂集具有相同基数，即 \overline{\overline{\mathscr{M}}}=2^c ，下面来证明这一结论。

证明：首先可测集当然是实数集的子集，因此有

\overline{\overline{\mathscr{M}}}\leq 2^c \\

另一方面，对于 Cantor 集，前面证明过它的外测度为 0，那么它的所有子集的外测度也都为 0，进而它的所有子集都是可测集。我们知道，Cantor 集的基数是 c ，它的幂集的基数是 2^c ，也就得到另一方向：

\overline{\overline{\mathscr{M}}}\geq 2^c \\

证明的核心思想： \mathcal{P}\left( \text{Cantor} \right) \subset \mathscr{M}\subset \mathcal{P}\left( R \right) .

定理1.5 如果 E 是区间，那么 E 是可测集，且测度为区间长度.