一、由行列式计算三角形面积

开个头，学过线代的朋友应该知道，如果已知平面中ABC三个点（或者说三个向量）的坐标

A（a0,b0），B（a1, b1），C（a2, b2）

那么这三个点围成的三角形的面积，可以由以下的行列式表示：

这个问题实际上是在说，任给二维平面中的三个点，所围成的物体面积是多少？

为了讨论方便，画图直观，我们不妨把A的坐标设为原点，a0=0,b0=0

那么右边的行列式就变为：

其实熟悉行列式的朋友应该已经能看出来，上述行列式，很明显的，

就是  向量AB（a1,b1)  和   向量AC(a2,b2)  张成的平行四边形的（有向）面积。(见下图)

所以平行四边形面积的一半，自然是三角形面积

（emm这一步如果不能get到的小伙伴，我过两天会详细说说的）

那么来证明左边的行列式的一半也是三角形ABC的面积。

首先，由上我们知道，二阶行列式的值，是以两个列向量张成的平行四边形的（有向）面积

（因为这里都是正向，就直接当成面积吧）

那么，类似地，三阶行列式，其实代表了三个列向量张成的平行六面体体积，

我们把左边的行列式三个列向量拿出来：

(a0,b0,1)，(a1,b1,1)，(a2,b2,1)，

如果为了方便画图和讨论，我们扔把A平移到原点，

那么就构造出 AA'=(0,0,1），AB'=(a1,b1,1)，AC'=(a2,b2,1）三个向量张成的平行六面体

（或者说四棱柱)

先说结论，这个六面体的体积的1/6，正好是以三角形ABC为底面的三棱锥

为什么呢，稍微复习一下中学里的立体几何，想象一个正方体，我们知道一个正方体可以切成两块三棱柱，而每个三棱柱，又可以切出三个三棱锥（这也是为什么， 三棱锥的体积是等底登高的三棱柱的三分之一）

所以1/3Sh（三棱锥体积）=1/6平行六面体体积=1/6 行列式的值

所以S=1/2行列式

三棱锥的高是1（因为最后一列是1），所以三棱锥的体积恰好和底面积相等

二、由行列式计算四面体（三棱锥）体积

上面我们说了，二维平面中最简单最基本的的图形是三角形，而三维空间中是四面体（三棱锥）了

很自然的，进一步的问题是，如果任给空间中四个互不重合的点，已知四点坐标，那么构成的四面体体积是？

同样地，如果把A移到原点，那么右边的行列式变为：

一样可以用上面讨论平行六面体的方式去证明。

然鹅左边的这个我就不会套用类似的几何方法证明了，因为我想象不出四维空间的物体嘛。

代数上证明是不难想的，展开再证明和右边一样就行了，如果有同学想到更好的证法请告诉我嗷。

三、更进一步的想法

回忆全文，我们所做的事情无非是，给定二维平面中互不相交的三个点，计算三边形面积，三维空间中互不相交的四个点，计算四面体体积

那么其实进一步的想法也是很自然的

推论：任给n维空间中n+1个点，其所构成的n+1面体的体积为：

其中n！代表n的阶乘。仔细想一想，正好印证之前的结论，二维中是1/2，三维里是1/6。

如果是高考的同学，看到这就不用记住了，可能记住怎么用行列式算六面体体积会比较有用，因为我依稀记得高考数学里是有立体几何的。不过应该也没什么太大用，除了实在算不出来的情况，有点大炮打蚊子，验算一下还是可以的。