【矩阵论】矩阵的广义逆详解 |
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【矩阵论】矩阵的广义逆详解
| Part.I Introduction 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组 Ax=b ，一般情况下，当 A 是 n 阶方阵，且 |A|\ne0 时，则方程组存在唯一解且可以表示为 x=A^{-1}b 。但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是任意的 m\times n 矩阵（一般 m\ne n ），显然不存在通常的逆矩阵 A^{-1} ，这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵 G ，使方程组的解仍可以表示为 x=Gb 的形式。 Part.II 广义逆类型与构造方法定义：设 A\in C^{m\times n} 为任意复数矩阵，如果存在复矩阵 G\in C^{n\times m} ，满足 AGA=A 2)\ GAG=G 3)\ (AG)^H=AG 4)\ (GA)^H=GA4个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（ M-P ）方程。进一步，如果 G 满足 M-P 的4个方程式，则 G 称为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为， G\in A\left\{ 1,2,3,4 \right\} . 一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第 i_1,i_2,\cdots,i_k(1\leq k \leq 4) 个，则称 G 为 A 的一种弱逆，记为 G\in A\left\{ i_1,i_2,\cdots,i_k \right\} 由于 M-P 的4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之，按照上面所述，满足1个，2个，3个，4个 M-P 方程的广义逆矩阵共有15类，即 C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=15\\ 但应用较多的是 A\left\{ 1 \right\},A\left\{ 1,2 \right\},A\left\{ 1,3 \right\},A\left\{ 1,4 \right\},A\left\{ 1,2,3,4 \right\} ，只有 A\left\{ 1,2,3,4 \right\} 是唯一确定的，其他各类广义逆矩阵都不唯一。通常将这5类广义逆用不同的符号表示： A\left\{ 1 \right\} 称为减号逆，记为 A^{-} A\left\{ 1,2 \right\} 称为自反减号逆，记为 A_r^{-} A\left\{ 1,3 \right\} 称为最小二乘广义逆，记为 A_l^{-}A\left\{ 1,4 \right\} 称为最小范数广义逆，记为 A_m^{-}A\left\{ 1,2,3,4 \right\} 称为加号逆或穆尔-彭诺斯广义逆（唯一），记为 A^{+} 加号逆是减号逆的子集（特例）。注意，有些地方四个条件的顺序可能不一样，所以不同地方最小二乘广义逆和最小范数广义逆的标号可能会与本文相反。下面分别介绍这5类广义逆矩阵 Chap.I 减号逆定理：设 A\in C^{m\times n} ，则 A 存在广义逆矩阵 A^{-} 的充要条件为存在 G\in C^{n\times m} ，使其满足 AGA=A A^-=A^{(1)}=\left\{ G|AGA=A \right\} 下面是一些重要的定理或推论： rank(A^{-})\geq rank(A) 设 A 是 m\times n 矩阵， rank(A)=r ，非奇异矩阵 P\in C^{m\times m},Q\in C^{n\times n} ，使得 PAQ=\left[ \begin{array}{ccc} E_r & 0 \\ 0 &0 \\ \end{array} \right] ，则 A 的减号逆存在，且可表示为 A^{-}=Q\left[ \begin{array}{ccc} E_r & G_{12} \\ G_{21} &G_{22} \\ \end{array} \right]P . 其中 G_{12},G_{21},G_{22} 分别是 r\times(m-r),(n-r)\times r,(n-r)\times (m-r) 的任意矩阵。求 P,Q 可以用初等变换的方法。 计算减号逆的示例Chap.II 自反减号逆自反减号逆是满足第一个和第二个条件的广义逆，它是一种特殊的减号逆，因为它满足自反性 (A_r^{-})_r^{-}=A ，所以被称为自反减号逆。 A_r^-=A^{(1,2)}=\left\{ G|AGA=A,GAG=G \right\} 下面是一些重要的定理或推论： 任意矩阵都有自反减号逆设 X,Y\in C^{n\times m} 均为 A\in C^{m\times n} 的减号广义逆，则 Z=XAY 是 A 的自反减号广义逆。A\in C^{m\times n} ， A^{(1)} 是 A 的减号广义逆，则 A^{(1)} 是 A 的自反减号广义逆矩阵的充要条件是 rank(A)=rank(A^{(1)}) 设 A\in C^{m\times n} ，则 X=(A^HA)^{(1)} ， Y=A^H(AA^H)^{(1)} 都是 A 的自反广义逆矩阵设 A\in C^{m\times n} ，则 AA^{(1,2)} 和 A^{(1,2)}A 都是幂等阵且 rank(AA^{(1,2)})= rank(A^{(1,2)}A)= rank(A) ； rank(A)=rank(A^{(1,2)}) 设 A 是 m\times n 矩阵， rank(A)=r ，非奇异矩阵 P\in C^{m\times m},Q\in C^{n\times n} ，使得 PAQ=\left[ \begin{array}{ccc} E_r & 0 \\ 0 &0 \\ \end{array} \right] ，则 A 的自反减号逆存在，且可表示为 A_r^{-}=Q\left[ \begin{array}{ccc} E_r & G_{12} \\ G_{21} &G_{21}G_{12} \\ \end{array} \right]P . 其中 G_{12},G_{21} 分别是 r\times(m-r),(n-r)\times r 的任意矩阵。求 P,Q 可以用初等变换的方法。设 A\in R^{m\times n} ，若 A 行满秩，即 rank(A)=m ，则 A_R^{-1}=GA^H(AGA^H)^{-1} ，其中， G 为使得 rank(AGA^H)=rank(A) 的任意 n 阶矩阵，特别有 A_R^{-1}=A^H(AA^H)^{-1} ；若 A 列满秩，即 rank(A)=n ，则 A_L^{-1}=(A^HGA)^{-1}A^HG ，其中 G 为使得 rank(A^HGA)=rank(A) 的任意 m 阶矩阵，特别有 A_L^{-1}=(A^HA)^{-1}A^H 若 rank(A)=r求自反减号逆的算例Chap.III 最小二乘广义逆最小二乘广义逆是满足四个条件中的第一个和第三个的广义逆，通常记为 A_l^-=A^{(1,3)} ，显然最小二乘广义逆是一种特殊的减号逆； 为什么叫做最小二乘广义逆呢？在最小二乘平差中， V=Bx-l ， B 矩阵是一个列满秩矩阵，在 V^TPV=min ( P 为权矩阵)的条件下，解算结果为 x=(B^TPB)^{-1}B^TPl ，这跟下面的结论保持一致。有可能其名字就是由此而来。A_l^-=A^{(1,3)}=\left\{ G|AGA=A,(AG)^H=AG \right\} 下面是一些重要的定理和推论 若 A\in R^{m\times n} 为行满秩矩阵，即 rank(A)=m ，则 A_l^-=A^H(AA^H)^{-1} 是 A 的一个最小二乘广义逆；若 A 为列满秩矩阵，即 rank(A)=n ，则 A_l^-=(A^HA)^{-1}A^H 是 A 的一个最小二乘广义逆；若 rank(A)=r求最小二乘广义逆的算例已知 A_l^- 是 A 的一个最小二乘广义逆，则 A 的最小二乘广义逆都可表示为 G=A^-_l+(E-A_l^-A)V ，其中 V 是任意 n\times m 矩阵  Chap.IV 最小范数广义逆最小二乘广义逆是满足四个条件中的第一个和第四个的广义逆，通常记为 A_m^-=A^{(1,4)} ，显然最小范数广义逆是一种特殊的减号逆； A_m^-=A^{(1,4)}=\left\{ G|AGA=A, (GA)^H=GA\right\} 下面是一些重要的定理和推论 若 A\in R^{m\times n} 为行满秩矩阵，即 rank(A)=m ，则 A_m^-=A^H(AA^H)^{-1} 是 A 的一个最小范数广义逆；若 A 为列满秩矩阵，即 rank(A)=n ，则 A_m^-=(A^HA)^{-1}A^H 是 A 的一个最小范数广义逆；若 rank(A)=r0 且有正交分解式 A=U\left[\begin{array}{ccc} R_r & O \\ O & O \\ \end{array} \right]V^H ，其中 U,V 为酉矩阵， R_r 是正线上三角阵，则 A^+=V\left[\begin{array}{ccc} R_r^{-1} & O \\ O & O \\ \end{array} \right]U^H 设 A\in C^{m\times n}_r,r>0 且 A 有如下的奇异值分解 A=U\left[\begin{array}{ccc} S_r & O \\ O & O \\ \end{array} \right]V^H ，其中 S_r=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_r), \sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_r>0 为 A 的正奇异值，则有 A^+=V\left[\begin{array}{ccc} S_r^{-1} & O \\ O & O \\ \end{array} \right]U^H下面是几种直接计算加号逆的方法 若 A 是非奇异方阵，则 A^+=A^{-1} 若 A 是行满秩矩阵，则 A^+=A_m^-=A^H(AA^H)^{-1} 若 A 是列满秩矩阵，则 A^+=A_l^-=(A^HA)^{-1}A^H 若 rank(A)=r |
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