希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

本节介绍的是根据单调性的定义或复合函数的单调性规律来判断函数的单调性，这也是最根本的方法。在后续课程中还会学到，对于可以求导的函数，可以根据导函数的取值正负来快速判断函数的单调性。

在生产、生活和研究中，人们经常碰到的一个问题是求解一个变量的最佳取值，例如如何分配手中的资源可以使利润的取值最大化，或是使成本的取值最小化。如果碰到的是单调函数，就非常容易找出其最大值与最小值。在后续的凸优化课程中，还会学到一类凸函数。凸函数值得格外关注的原因也是因为易于求解最大值和最小值。我们总是倾向于尽可能地将复杂的函数关系转换成易于求解的形式，然后用我们对于简单情形的丰富经验击败它们，这是解决一切优化问题的总体思路。

如果在一个函数的定义域I中任取2个点 x 1 f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})} ”，对严格单调递增函数的定义才是 x 1 f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})} 的正负。 作商判断法，即在有 f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} 恒成立的前提下，在定义域内任取 x 1 f ( x 2 ) x 1 − x 2 > 0 {\displaystyle {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0} ； B. ( x 1 − x 2 ) ( f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ) > 0 {\displaystyle (x_{1}-x_{2})(f(x_{1})-f(x_{2}))>0} ； C. f ( a ) f ( x 2 ) > 0 {\displaystyle {\frac {x_{1}-x_{2}}{f(x_{1})-f(x_{2})}}>0} 。

相关例题2：下列说法正确的是(    )。

相关例题7：已知不等式 x 2 − 5 a x + b > 0 {\displaystyle x^{2}-5ax+b>0} 的解集为 { x | x > 4 ∨ x 4\lor x。

注意：若一个函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在2个不相交的闭区间上都有定义，如果希望函数在这2个区间的并集上仍然保持相同的单调性，除了分别检查 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在2个子区间上的单调性是否一致，还必须检查函数在2个区间的端点上的取值是否也有同样的单调关系。

相关例题1：判断函数 y = | x + 2 | {\displaystyle y=|x+2|} 在区间[-3, 0]上的单调性。

相关例题2：求函数 f ( x ) = | x 2 − 6 x + 8 | {\displaystyle f(x)=|x^{2}-6x+8|} 的单调递增区间。

相关例题3：已知 f ( x ) = { ( 3 a − 1 ) x + 4 a , x 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}(3a-1)x+4a,x 2 | , x ≥ a a x − 6 , x R ) {\displaystyle g(x)=x^{3}-2\quad (x\in \mathbb {R} )} ， f ( x ) = { g ( x ) + x + 4 , x g ( x ) {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}g(x)+x+4,\quad x B {\displaystyle A\cup B} 上也一定是单调递增的。(    ) (3) 若区间I可以分为A、B这2个不相交的集合，且某个函数在A、B上分别都是单调递增的，则此函数一定在I的某个开的子区间上会是单调递增的。(    ) (4) 存在一个函数，它不是常函数，但是它在其定义域的任何子区间内都不是单调的。(    )

一般来说，增函数是保持单调性的映射，减函数是颠倒单调性的映射。

当参与复合的任何一个函数在其定义域内是分段单调函数时，就需要很小心地分类讨论。

相关例题1：判断函数 f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}+2x+1} 的单调性。

相关例题2：判断函数 f ( x ) = x 3 − 1 x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}-{\frac {1}{x^{3}}}} 的单调性。

相关例题3：判断函数 f ( x ) = 2 x 3 ( x 5 + 5 x ) ( x > 0 ) {\displaystyle f(x)=2^{x^{3}}(x^{5}+5x)\quad (x>0)} 的单调性。

相关例题4：求函数 f ( x ) = 1 x 2 + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2}}} 的值域。

相关例题5：求函数 y = x 2 + 3 x {\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+3x}}} 的单调递减区间。

相关例题6：求函数 f ( x ) = 2 − − x 2 + 4 x {\displaystyle f(x)=2-{\sqrt {-x^{2}+4x}}} 的值域。

相关例题7：已知函数 f ( x ) = 1 x 2 + 3 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+3x}}}} ，求 f ( 2 − x ) {\displaystyle f(2-x)} 的单调递增区间。

相关例题1：若 f ( x ) = 3 − a x a − 1 ( a ≠ 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {3-ax}}{a-1}}\quad (a\neq 1)} 在区间(0, 1]上是减函数，求实数a的取值范围。

相关例题2：已知 f ( x ) = x x − a ( x ≠ a ) {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x-a}}\quad (x\neq a)} 。 (1)若 a = − 2 {\displaystyle a=-2} ，求证 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( − ∞ , − 2 ) {\displaystyle (-\infty ,-2)} 上单调递增。 (2)若 a > 0 {\displaystyle a>0} ，且 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( 1 , + ∞ ) {\displaystyle (1,+\infty )} 上单调递减，求实数a的取值范围。

相关例题：设函数 f ( x ) = { 2 x 2 , x ≥ 0 − 2 x 2 , x 3 f ( 3 3 x ) {\displaystyle f(3-x)\geq 3f({\frac {\sqrt {3}}{3}}x)} 的解集。