线性代数(五) |
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1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么?2 求特征值和特征向量3 特征值和特征向量的应用4 矩阵的对角化
1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么?
矩阵实际上是一种变换,是一种旋转伸缩变换(方阵) 不是方阵的话还有可能是一种升维和降维的变换 直观理解可以看系列超赞视频线性代数-哔哩哔哩_Bilibili 比如A= ( 1 2 2 1 ) \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} (1221) x= ( 1 2 ) \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} (12) 我们给x左乘A实际上是对x进行了一次旋转伸缩变换 Ax= ( 5 4 ) \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} (54) 而我们如果仅仅是单纯的伸缩变换,而如果A对x仅仅只能伸缩变换,而不能旋转变换,则称为x为矩阵A的特征向量,伸缩变换的倍数即为特征值 2 求特征值和特征向量(1)写出特征多项式 ∣ E − A ∣ = 0 |E-A|=0 ∣E−A∣=0 求得特征值 (2)代入特征值求解方程组,解即为我们的特征向量 矩阵的迹 矩阵乘积为行列式 3 特征值和特征向量的应用已知A的特征值 则 A − 1 A^{-1} A−1的特征值可求 A的一个多项式特征值可求 所以把我们要求的值转换为A的多项式,进而求出特征值,求出行列式的值 4 矩阵的对角化非对称矩阵对角化 (1)求解特征值和特征向量 (2)特征向量组成我们的相乘矩阵P 特征值作为主对角线上的元素的对角矩阵就是我们对角化的矩阵 对称矩阵对角化求正交矩阵 (1)求解特征值值和特征向量 (2)施密特正交化重根对应的特征向量,再单位化所有特征向量 (3)取向量依次组成我们的正交矩阵Q |
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