差分法应用在处理区间问题时比较多。一个数列要在很多不确定的区间内加上相同的一个数，如果直接在原数列上操作是非常复杂且耗时的，差分法就是先将数列拆分，构造一个拆分的新数列，在这个新数列上进行我们想要的操作之后，在将这个数列合并起来即可。

听起来好像复杂了很多，其实不然，这样处理反而能减少很多操作，比如不用对给定区间内的原数列的每一项进行操作，只需要在新数列上操作区间左右边界的这两项即可，这样就达到了减少耗时的效果。

定义：

对于已知有n个元素得离线数列d，我们可以建立记录它与每项与前一项得差值得差分数组f；显然，f[1] = d[1] - 0 = d[1]; 对于整数 i∈[2,n]，我们让f[i]=d[i]-d[i-1]。将对d的一些操作转移至f数列，最终合并f得到d的一种操作，叫做差分法。

对于定义的通俗理解粒子：

①现在有一个数列d ： 3   4   1   5   6   2   7   9

②我们根据公式 f[i]=d[i]-d[i-1] ，d[0]= 0 .构造一个新数列（差分数列) f: 3    1    -3    4    1    -4    5    2

③当我们需要对数列d的 [1,6]这区间的数加1，并求出区间加1后数列的值。

④我们只需要对区间的左边界L处项也就是f数列中第1项（值为3），加上一个1，对区间的右边界R处的下一个也就是R+1项也就是f数列中第7项（值为5），减去一个1，那么有改变后的f为：

⑤ f：4    1   -3    4    1    -4    4    2

⑥再根据f和d数列的关系，di = f1+f2+...+fi  ，di = d(i-1) + fi可以得出改变后的d:

⑦ d：4    5    2    6    7    3    7    9

⑧ 很明显，我们只操作了两项，也就是L项（左边界项）和R+1项（右边界的后一项），但是当我们合并f求出d的时候却得到了正确的d，也就是该区间的每一项都加上了1.

⑨有人会说这有啥？确定没啥吗？这只是一个区间，如果是很多个不确定的区间，比如[1,3], [3,6], [2,5], [4,7]......呢？我依旧只需要合并一次，但是在区间操作上，每给一个区间我都只需要操作两次（只需关注左右边界即可），这不是快了很多很多吗，不然每一个区间都需要额外的去加去操作，这必然带来很大的耗时。

差分法解决区间问题的原理：

当我们需要对数列d的某个区间所有项进行加m操作时，只需要将这个数列分解为一个差分数列 f 之后，对左区间边界 f[L] 项进行加m操作，对右边界 f[R+1]项进行减m操作，最后根据拆分时的公式：

di = f1+f2+..+fi=d(i-1)角标 + fi 反过来合并即可得到我们需要的数列d。不管多少个区间如此操作皆可。

这样能成功原理是什么呢？看图：

 差分法的用途：

最后在总结一下，主要有两个用途：

(1)快速处理区间加减操作：

假如现在对数列中区间[L,R]上的数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

(2)询问区间和问题：

由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];

那么如何只根据差分数列求出原始数列的前n项和吗？当然可以，如下图：

本菜在看到最终公式的时候有点理解不了，找了很多关于双重西格玛的求解公式还是不知道怎么得来的，后面自己代入推了一下：

2020年12月22日的牛客网竞赛题B题牛牛浇树。

这题如果单纯的用暴力法是ac不了的，超时。

应该用差分法。