标准差,方差 - 百度文库 (baidu.com)

定义： 算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。

公式为： x ˉ = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n = ∑ i = 1 n x ÷ n \bar x = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n = \sum \limits_{i=1} ^n x ÷ n xˉ=nx1​+x2​+⋯+xn​​=i=1∑n​x÷n

算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，即各项的权相等时，加权平均数就是算术平均数。

定义： n个正实数乘积的n次算术根。给定n个正实数 a1，a2，…，an，其几何平均数为(a1a2……an)(1/n)。特别是,两个正数a，b的几何平均数c＝(a*b)(1/2)是a与b的比例中项。任意n个正数a1，a2 ，…，an的几何平均数不大于这n个数的算术平均数，即(a1a2*……*an)^(1/n)≤（a1＋a2＋…＋an）/n 。这个不等式在研究其他不等式或极值等问题时常起特殊作用。

定义：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；

样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差公式：

S 2 = 1 n [ ( x 1 − x ˉ ) 2 + ( x 2 − x ˉ ) 2 + ⋯ + ( x n − x ˉ ) 2 ] = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 (1) S^2 = \frac1n[(x_1 - \bar x)^2 + (x_2 - \bar x)^2 + \cdots + (x_n - \bar x)^2] = \frac 1 n \cdot \sum \limits_{i=1} ^ n(x_i - \bar x) ^2 \tag 1 S2=n1​[(x1​−xˉ)2+(x2​−xˉ)2+⋯+(xn​−xˉ)2]=n1​⋅i=1∑n​(xi​−xˉ)2(1)

方差公式进一步推演，可以得出一个很适合编程的公式，如下：

S 2 = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 − 2 n x ˉ ∑ i = 1 n x i + n n x ˉ 2 = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n x i 2 − 2 x ˉ 2 + x ˉ 2 = 1 n ⋅ ∑ x i 2 − x ˉ 2 (2) \begin{aligned} S^2 &= \frac 1n \cdot \sum \limits _{i=1} ^n (x_i - \bar x)^2 \\ &= \frac 1n \sum \limits _{i=1} ^n x_i ^2 - \frac2n \bar x \sum \limits _{i=1} ^n x_i + \frac nn \bar x ^2 \\ &= \frac 1n \cdot \sum \limits _{i=1} ^n x_i ^2 - 2 \bar x^2 + \bar x^2 \\ &= \frac 1n \cdot \sum x_i ^2 - \bar x ^ 2 \tag 2 \end{aligned} S2​=n1​⋅i=1∑n​(xi​−xˉ)2=n1​i=1∑n​xi2​−n2​xˉi=1∑n​xi​+nn​xˉ2=n1​⋅i=1∑n​xi2​−2xˉ2+xˉ2=n1​⋅∑xi2​−xˉ2​(2)

​ 最后的结果比较适合编程使用： ​ 公式变成了只要求取 每个元素的平方之和 以及 所有元素的平均值，一个循环就能搞定。

摘自 ：《C++程序设计教程（第二版） 习题及解答 钱能 习题练习题答案》

定义：样本方差的算术平方根叫做样本标准差，常称作均方差

​ 由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

S = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 (3) S = \sqrt {\frac 1 n \cdot \sum \limits_{i=1} ^ n(x_i - \bar x) ^2} \tag{3} S=n1​⋅i=1∑n​(xi​−xˉ)2 ​(3)

​ 定义一个数组，数据为：6, 3, 7, 1, 4, 8, 2, 9, 11, 5。请创建一个向量，把数组的初值赋给它，然后对该向量求标准差（均方差），即公式3。

题目摘自 ：C++程序设计教程 第二版 作者 ：钱能 思路出自 ：《C++程序设计教程（第二版） 习题及解答 钱能 习题练习题答案》 另：教材非常好，整体内容结构分明，清晰易懂，