注意所举例子的层次性。

引例解不等式\(log_2(3x+1)>log_2(1-2x)\)，

分析：由于我们是借助函数\(y=log_2x\)的单调性来解不等式，

则需要先考虑定义域，以保证让不等式的两端都有意义，

故利用函数的定义域和单调性，可以等价转化得到不等式组：

\(\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)

解得，解集为\((0，\cfrac{1}{2})\)。

例2已知函数\(f(x)\)的定义域为\((0，+\infty)\)，且单调递增，求解不等式\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，

分析：如果我们要给本题目的抽象函数找一个依托，那么

\(y=log_2x\)绝对是个比较好的例子，

故碰到这样的题目，我们需要考虑定义域和单调性，

可以等价转化为\(\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-2x>0}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)

解得，解集为\((0，\cfrac{1}{2})\)。

例3已知奇函数\(f(x)\)的定义域为\([-2，2]\)，且在区间\([0，2]\)单调递增，求解不等式\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，

分析：由区间\([0，2]\)单调递增，和奇函数可知，则函数在区间\([-2，0]\)上单调递增，

故函数\(f(x)\)在区间\([-2，2]\)单调递增，

再由定义域和单调性可知

\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)

解集，略。

说明：定义域上的单调性没有直接给出，需要我们借助奇偶性自行推导。

例4已知奇函数\(f(x)\)的定义域为\([-2，2]\)，且在区间\([-2，2]\)单调递增，求解不等式\(f(3x+1)+f(2x-1)>0\)，

分析：先将不等式转化为\(f(3x+1)>-f(2x-1)\)，

由于函数\(f(x)\)为奇函数，则\(-f(2x-1)=f[-(2x-1)]=f(1-2x)\)，

则上述不等式再次转化为\(f(3x+1)>f(1-2x)\)，

再由定义域和单调性可知，原不等式等价于

\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq 3x+1\leq 2}\\{-2\leq 1-2x\leq 2}\\{3x+1>1-2x}\end{array}\right.\)

解集，略。

说明：给出的不等式需要我们结合奇偶性，转化为\(f(M)>f(N)\)的形式，以便于能利用单调性。

若是偶函数，则无比记住使用\(f(x)=f(|x|)\)，可以避免分类讨论。

函数的性质需要我们自己总结归纳出来，并主动应用

例5已知函数\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x-\cfrac{1}{a^x})(x\in R，a>0，a\neq 1)\)

（1）求函数\(f(x)\)的单调性；

（2）若\(f(1-m)+f(1-m^2)1\)时，\(a^2-1>0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}>0\)，\(lna>0\)

\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)

\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，

则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，

由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；

②当\(0