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专栏：高等数学

目录

【精讲】高等数学中的无穷大量与无界变量的关系解析

导言

一、无穷大量的定义

二、无界变量的定义

三、无穷大量与无界变量的关系

四、无穷大量与无界变量的区别

五、应用举例

必需记忆知识点 

例题（用于熟悉高等数学中的无穷大量与无界变量的关系）

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结论

在高等数学中，无穷大量和无界变量是描述数列和函数性质的重要概念。它们都与数值趋于无穷有关，但却具有不同的性质和定义。本文将详细解析高等数学中无穷大量与无界变量之间的关系，包括它们的定义、性质以及它们之间的区别和联系。

无穷大量是指当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数或数列的值也趋向于无穷大。形式化表示为：对于任意正数M，总存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，|f(x)| > M。无穷大量常用符号lim(x→a) f(x) = ∞或lim(x→a) f(x) = -∞来表示，取决于无穷大量是正无穷大还是负无穷大。

无界变量是指在某一区间或整个定义域内，函数或数列的值没有上界或下界，即值可以无限增大或无限减小。换句话说，不存在一个常数M，使得对于所有的x在该区间内，|f(x)| ≤ M。无界变量可以是有限趋于无穷大，也可以是负无穷大。

无穷大量一定是无界变量： 由无穷大量的定义可知，当自变量趋近于某一点或无穷大时，函数的值会趋向于正无穷大或负无穷大。因此，无穷大量的值必然无界，没有上界或下界。

无界变量不一定是无穷大量： 无界变量是指函数或数列在某一区间或整个定义域内没有上界或下界。但无界变量并不一定意味着它的值会趋向于无穷大。它可以是在某一点或区间内值趋近于有限数值或是无穷小。

总结来说，无穷大量和无界变量都与数值趋于无穷有关，但它们的性质和定义不同：

无穷大量和无界变量是高等数学中描述数列和函数性质的关键概念。无穷大量是指函数在某一点或无穷远处值趋于无穷大，而无界变量是指函数在某一区间或整个定义域内没有上界或下界。尽管它们都与数值趋于无穷有关，但它们的性质和定义是不同的，需要在具体问题中灵活运用。

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