推导正弦波正弦量、平均值、有效值基本公式 |
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一、基本公式 对于一个时间函数的正弦波:
即函数是u=F(t),注意u≠sin(t),F≠sin。 但是它是一个正弦波,故u=sin(£),£与t存在关系 即:u=F(t)=sin(£),£与t存在关系,£的单位是角度,t的单位是秒。sin只能对“角度”,不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。 现在来求解£是什么,发现: O点,t=0时,£=0 A点,t=T时,£=2π B点,t=2T时,£=2×2π 即£与t的关系是 £=(2π/T)×t 故得:u=F(t)=sin(£)=sin((2π/T)t) !!!! 另, 角速度=2π/t 角频率ω=2π/T=2πf,T为周期,f为频率 故最终:u=sinωt !!!! 即t乘以ω后,就变成角度了,ωt是角度,就可以sin了! 二、对于各种提前、延后的情况:
即sin函数里面的都是角度! 时间需要乘以ω转成角度。 角度要转成时间,就要除以ω。 π/2=ω×T/4,即T/4相当于是π/2。 三、平均值 时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。 1. 正弦波平均值肯定为0。
把角度当作时间来简化计算。 把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。 在一个周期T内的平均值,即是∫u×dt/T,即相当于∫u×d£/2π 用角度时:u=sin£ 则∫u×d£/2π=∫sin£×d£/2π 在0~2π区间作积分: 故∫sin£d£/2π=(-cos2π+cos0)/2π=0 2. 全波整流的平均值:
只要计算0~π即可: ∫sin£d£/π=(-cosπ+cos0)/π=2/π=0.6366 即平均值=峰值的0.6366倍。 3. 半波整流的平均值
计算0~π,但周期要按2π算: ∫sin£d£/2π=(-cosπ+cos0)/π=2/2π=0.3183 即平均值=峰值的0.3183倍。 四、有效值 时间和角度是相当的,角度可以代替时间去计算,这就方便多了。 1. 正弦波有效值 把角度当作时间来简化计算。 把2π当作周期T,把小片段角度d£当作小片段时间dt。 在一个周期T内的有效值,即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压: 一个周期T内的热量值(假设电阻R=1):∫u^2×dt,即相当于∫u^2×d£ 用角度时:u=sin£ 则∫u^2×d£=∫sin2£×d£ 在0~2π区间作积分: 故∫sin2£d£=(2π/2-1/4×sin4π)-(0/2-1/4×sin0)=π 等效电压Uo产生的热量值=Uo^2×2π等于∫sin2£d£=π 故:Uo^2×2π=π 最终得:Uo=0.707 即有效值等于峰值的0.707倍 2. 全波整流的有效值: 只要计算0~π即可: 故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2 故:Uo^2×π=π/2 最终得:Uo=0.707 即有效值等于峰值的0.707倍 3. 半波整流的有效值 只要计算0~π,但周期要按2π算: 故∫sin2£d£=(π/2-1/4×sin2π)-(0/2-1/4×sin0)=π/2 故:Uo^2×2π=π/2 最终得:Uo=0.5 即有效值等于峰值的0.5倍 五、汇总
总之,sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。 声明:本文内容及配图由入驻作者撰写或者入驻合作网站授权转载。文章观点仅代表作者本人,不代表电子发烧友网立场。文章及其配图仅供工程师学习之用,如有内容侵权或者其他违规问题,请联系本站处理。 举报投诉 正弦波 正弦波 +关注关注 11文章 598浏览量 54692 函数 函数 +关注关注 3文章 4176浏览量 61582 有效值 有效值 +关注关注 0文章 17浏览量 9380原文标题:一文学会推导正弦波正弦量、平均值、有效值 文章出处:【微信号:edn-china,微信公众号:EDN电子技术设计】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。 收藏 人收藏扫一扫,分享给好友 复制链接分享 评论发布评论请先 登录 相关推荐 EMI之--峰值,准峰值、平均值解析! EMI Receiver可以进行准峰值测量、峰值测量和平均值测量。当输入信号是正弦波时,无论用何种方式测量,得到的读数都是相同的,等于该正弦波的有效值,精度应优于±2dB。但是如果输入![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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