求曲线面积的原理（微积分入门）

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求曲线面积的原理（微积分入门）

2024-06-29 07:52:04| 来源: 网络整理| 查看: 265

前言

在我学习微积分之前，看过许多关于微积分的文章，大多都是告诉原理了，说原理的话，我相信大多数人都是清楚的，但具体的这个曲线面积公式是怎么来的，扔出一套公式出来就求解出了曲线面积，总是很笼统很抽象的一笔带过，也一度让我一头雾水。下面，我用一个简单的线性方程组y=x^2为例子，来简单讲一讲曲线面积的求救过程，不会运用到微积分的知识。

知识前提：

1.需要理解求极限

2.需要理解数列求和

以上两个知识点不在这里深入，需要的自行百度了解再继续观看本篇文章。

求解原理

我这里用自己的想法通俗的讲述求曲面面积的原理：

曲线的面积就是将曲线面积无限的分割成无穷小一块，然后将这些小块全部加起来就是曲线的面积。

这么理解应该就很好的清楚曲线该怎么求了，我们的需求就是要将面积分割成无穷小，一块一块的，无穷小的那一块的面积我们可以用矩形来代替，这是求曲面面积很重要的思想，这个就是以直代曲的思想。将很多个分割的很小很小的矩形面积加起来，这不就是曲线的面积了吗？到这里，我想大家应该都能理解，然后需要进行算的时候，怎么去算那一小块的面积，怎么算全部加起来的面积，在这里可能都会困惑。所以这里光文字说明，我觉得应该是不能满足去理解求解曲面面积原理的，这就需要数学的假设性证明才能通过一步一步的运算把最终的结果算出来。

割圆法就是一个很明显的以直代曲的方法

证明过程：

曲线方程 $y=x^{2}$

假设我要求解的面积区域是[0,X]

假设无穷大为n

那么我想要将这块区域分割成无穷小的宽度就为 $\frac{X}{n}$

那么矩形的长是多少呢，我们把 $\frac{X}{n}$ 带入 $y=x^{2}$ ，求解出来的数字就是矩形的长

这里我们发现X/n始终是个固定的宽度，不会改变，我们就可以将他用一个字母来代替它，用来简化整个过程。这里我用 $A=\frac{X}{n}$ 来代替这个无穷小的宽度

现在我首先先算第一块面积S1

S1的面积区间为[0,A]

S2的面积区间为[A,2A]

S3的面积区间为[2A,3A]

$S1=(A)*(1*A)^2$ 这里就是长乘宽的理解,1表示为现在第一块

$S2=(A)*(2*A)^2$ 这里宽度依旧是A，但是横坐标进行了平移，所以横坐标的值变成了2A，以此类推

$S3=(A)*(3*A)^2$

...

$Sn=(A)*(n*A)^2$

以上我认为还是很好理解的，就是把所有分割的曲面面积求解出来了

下面我们就需要将面积加起来

$S_{sum}=S1+S2+S3+...+Sn$

很显然，这已经很接近我们想要的答案了，我们把上面式子都带入进去看看

$S_{sum}=A*(1*A)^2+A*(2*A)^2+A*(3*A)^2+...+A*(n*A)^2$

下面我把过程简化一下

将A提取出来就变成了

$S_{SUM}=A^3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)$

这样一看是不是舒服多了，上面就涉及到数列求和，所以我说需要掌握这个知识后再学习就会很简单。

平方和公式：

这个就是数列求和的转换结果，有了这个式子后我们再将A=X/n带入A中得到的式子如下

$S_{sum}=\frac{x^3}{n^3}*(\frac{1}{6}*n*(n+1)*(2*n+1))$

经过化简可以得到以下公司，

$S_{sum}=\frac{1}{3}*x^{3}+\frac{1}{2*n}+\frac{1}{6*n^2}$

现在回想下上面说过的n是什么，n就是无穷大，这里就会涉及到极限的思想，上面的公式 $\frac{1}{2n}$ ,当n趋于无穷大的时候，可以想一想，这个值是不是会变得很小很小，小到忽略不计，那就把它当成0，以此类推 $\frac{1}{6n^2}$ 也是一样的结果等于0.数学上这么说是不严谨的，应该是趋近于0，我这里方便理解也就直接当成0了，这样，我们求解到的面积。