小提琴的琴弦与宇宙基础粒子有什么关联？琴弦的波动真的能解释宇宙的一切吗？

弦论(String Theory)认为每种基本粒子都是由非常微小的弦所组成，而宇宙一切皆由基本粒子组成。当弦以某种方式被激发或震动时，产生光子；以另一种方式震动，产生中微子；再换一种方式，产生夸克，......

波方程 u_{tt}=c^{2}u_{xx} 描述围绕均衡态小幅震荡的场景，不仅可描述达朗贝尔的琴弦、鼓膜、耳机的震动，也主宰着引力波、光波、声波、地震波甚至弦论中弦的震动。

欧拉、丹尼尔伯努利和拉格朗日都研究过乐器的弦震。1746年，法国数学家、物理学家、哲学家和音乐理论家达朗贝尔(Jean-Baptiste le Rond d'Alembert，1717 – 1783)发现了1维的波方程(Wave Equation)的解， 波方程也称双曲方程(Hyperbolic Equation)。十年后，欧拉发现了3维波方程的解。

我们已讨论了拉普拉斯方程与热方程，在此做个小结，以便于更好的理解三个方程的关系以及波方程的定位：

拉普拉斯方程 u_{xx}=0 ，也称椭圆方程，基于一个圆或一个封闭区域，描述与时间无关的均衡状态。热方程 u_t=\alpha^{2}U_{xx} 和波方程 u_{tt}=c^{2}u_{xx}分别对时间 t 求1阶和2阶导数。 x 通常表示1维坐标，在此可引申为广义的(多维)空间。

对比3个方程：

3个方程左侧LHS依次是对时间 t 的2阶、1阶导数和0阶导数(如果拉普拉斯方程右侧为非0常数，所谓非齐次，变为柏松方程)，3个方程的RHS都是对空间的2阶导数乘以一个正的系数。

当热方程的 u_t=0 时，即处于不随时间变化的热稳态(Steady Heat)状态，热流不再传导，温度分布稳定的均衡状态时，热方程蜕化为拉普拉斯方程，比如时间 t\rightarrow \infty 的热扩散情况。

虽然热方程和波方程的形式上也很接近，分别是1阶和2阶导数，但它们的解却完全不同。假设两者在 t=0 时初始条件都是 \delta 函数：u=\delta(x) (下文解释)，热方程的解为： \frac{1}{\sqrt{(4\pi t)}}e^{-(x^2/4t)} ，随着 x 的增大，解会指数衰减，迅速接近0。但对于波方程，波以速度 c 传播，虽然信息传递需要一定时间（热方程理论上传递信息的速度无穷大），不会衰减，对于1维问题， \delta 函数分裂为左右两个方向，方程的解为： \frac{1}{2}\delta(x-ct)+\frac{1}{2}\delta(x+ct) ，（先上结论，直觉感受下）即根据 x 的具体位置，在 t=\pm\frac{x}{c} 的时刻，波到达该点，但只是一瞬间的冲击波，在这之前和之后都很平静。

波方程不止一种，本文讨论的波方程只是经典的波方程的1维情况，不涉及相对论和量子力学，薛定谔方程不在本文讨论范围内。

\delta(x) 函数也称Dirac delta function，由英国著名理论物理学家Paul Dirac(1902-1984)提出，用于对理想的点电荷或点质量的密度进行建模的函数，即除了0之外，所有其他点的函数值都等于0，而整个实数轴的积分等于1 (PDF的要求)。

定义： \delta(x) = \left\{\begin{align} +\infty,x=0\\ 0,x\ne0 \end{align}\right. \quad\quad \int_{-\infty}^{\infty}f(x)=1

在进行数学推导前，先了解下波方程的含义、直觉和可能的解的形式：

1) 波方程的含义

从物理的角度看：波方程体现了牛顿第二定律 F=ma ，下面直觉理解马上解释。

波方程 u_{tt}=c^{2}u_{xx} 中的 c 表示波的速度，如果是光，就是光速；上图中虽然波在向右传播，但绳子上的某个特定的点只是在上下波动； u(x,t) 是在时刻 t时位置 x 的震动幅度， u_{tt} 是振幅对时间的二阶导数，类似于加速度， u_{xx} 是振幅对一维空间 x 的二阶导数。

因此，波方程表达：u(x,t)对于时间和空间的2阶导数的形式相同，只相差一个系数———波的速度的平方 c^{2}。

量纲分析： u_{tt} 表示加速度，单位是 m/s^{2} ； u_{xx} 的单位是 1/m ；那么 c^{2} 的单位应该是 m^{2}/{s^{2}} ， c 的单位是 m/s 。

2) 直觉理解

直觉理解不是严格的数学推导，但有助于理解工作原理和培养直觉。

取绳子上的一小段 dm 进行分析，水平方向，力是平衡的；主要关注垂直方向，由于绳子向下弯(concave down)，所以 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} < 0 ，因为 \sin \theta_1>\sin \theta_2 ，左侧 T 向下的分量大于右侧 T 向上的分量，故净张力向下。也就是说，绳子往下弯对应 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} < 0 和净张力向下；反之，绳子往上弯对应 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} > 0 与净张力向上。用一句话总结： 波的凹状(concavity)与净张力的方向和 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} 直接相关。牛顿第二定律 F=ma 告诉我们，力与加速度 \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} 成正比，即 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} 与 \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} 成正比，其实相差一个系数。

3) 波方程解的形式

假设 u(x,t) 是Sine函数，Sine函数的一阶导数是Cosine函数，再求一次导数的到负的Sine函数，对时间和位移都是如此，只是两者相差系数 c^{2} 。解方程就是要找到具体的Sine函数的形式使方程成立。

比如假设： u=\sin(kx-\omega t)

w 为角频率， k 为波数(wave number)

\frac{\partial u}{\partial x} = k\cos(kx-\omega t),\quad \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = -k^{2}\sin(kx-\omega t)

\frac{\partial u}{\partial t} = -\omega\cos(kx-\omega t),\quad \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}\sin(kx-\omega t)

另： \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} ，得到： -w^{2}\sin(kx-\omega t)=-k^{2}c^{2}\sin(kx-\omega t)

即： \omega ^{2}=k^{2}c^{2} ， c^{2}=\frac{\omega^{2}}{ k^{2}}

和其他PDE类似，波方程的解必须满足初始条件和边界条件，即波是如何触发的，以及绳子的端点的情况。

波方程求解常用2种方法：运输方程(Transport Equation)和变量分离。本节先看下运输方程的通解。

运输方程常用于对质量(Mass)移动进行建模。

Transport方程： a\frac{\partial u}{\partial x} +b\frac{\partial u}{\partial y} =0\quad\quad(1) a,b 为常数

显然： \frac{\partial u}{\partial x}=b, \frac{\partial u}{\partial y} =-a 可以满足运输方程的要求，对应的直线方程为： bx-ay=c . 因此， u=f(bx-ay) .

不进行详细的数学推导，也能有个直觉的理解：我们要找一个函数 u ，该函数的梯度与向量 a\vec i+b \vec j 垂直，也就等于 b\vec i-a \vec j 。

下一篇将利用上述结论，讨论波方程的具体解法。

运输方程推导：变换坐标法

令： p=ax+by,q=bx-ay

链式法则: \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial y}

插入 p,q : \frac{\partial u}{\partial x} = a\frac{\partial u}{\partial p} + b\frac{\partial u}{\partial q},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = b\frac{\partial u}{\partial p} -a \frac{\partial u}{\partial q}

代入方程（1）： a\left(a\frac{\partial u}{\partial p} + b\frac{\partial u}{\partial q}\right)+b\left(b\frac{\partial u}{\partial p} -a \frac{\partial u}{\partial q}\right) =0

a^{2}\frac{\partial u}{\partial p} + ab\frac{\partial u}{\partial q}+b^{2}\frac{\partial u}{\partial p} -ab \frac{\partial u}{\partial q} =0

a^{2}\frac{\partial u}{\partial p} +b^{2}\frac{\partial u}{\partial p} =0

(a^{2} +b^{2})\frac{\partial u}{\partial p} =0

显然：(a^{2} +b^{2})\geq0 ，等于0的情况意味这 a=0,b=0 ，这种情况Trival，不做考虑

于是： \frac{\partial u}{\partial p} =0

即： u=f(q)

所以： u=f(bx-ay)

背景介绍和准备工作都完成了，下一篇讨论如何求通解。