J = f ( u ) J=f(u) J=f(u)取极值的充分必要条件： 必要条件： ∂ f ∂ u = 0 \frac{\partial f}{\partial u}=0 ∂u∂f​=0 充分条件： ∂ 2 f ∂ u 2 > 0 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}>0 ∂u2∂2f​>0

1.嵌入法 2.拉格朗日乘子法 原函数 J = f ( x , u ) J=f(x,u) J=f(x,u) 等式约束条件 g ( x , u ) = 0 g(x,u)=0 g(x,u)=0 构造拉格朗日函数： H = J + λ g ( x , u ) H=J+\lambda g(x,u) H=J+λg(x,u) H取极值的必要条件 ∂ H ∂ u = 0 ; ∂ H ∂ x = 0 ; ∂ H ∂ λ = 0 \frac{\partial H}{\partial u}=0 ;\frac{\partial H}{\partial x}=0;\frac{\partial H}{\partial \lambda}=0 ∂u∂H​=0;∂x∂H​=0;∂λ∂H​=0

对于自变量x，存在一类函数 y ( x ) {y(x)} y(x),对于每个 y ( x ) y(x) y(x),有一个J值与之对应，则变量J称为依赖于函数 y ( x ) y(x) y(x)的泛函数，记作 J [ y ( x ) ] J[y(x)] J[y(x)] 自变量x称为宗量 y ( x ) y(x) y(x)称为宗量函数 J [ y ( x ) ] J[y(x)] J[y(x)]称为宗量函数的泛函

若泛函在任何一条与 y 0 ( x ) y_0(x) y0​(x)接近的曲线上都有 Δ J = J [ y ( x ) ] − J [ y 0 ( x ) ] ≥ 0 \Delta J=J[y(x)]-J[y_0(x)]\geq0 ΔJ=J[y(x)]−J[y0​(x)]≥0 则J在 y 0 ( x ) y_0(x) y0​(x)上达到极小值 求泛函的极值问题称为变分问题，其方法为变分法

Δ J = J [ y ( x ) + δ y ( x ) ] − J [ y ( x ) ] = L [ y ( x ) , δ y ( x ) ] + R [ y ( x ) , δ y ( x ) ] \Delta J=J[y(x)+\delta y(x)]-J[y(x)]=L[y(x),\delta y(x)]+R[y(x),\delta y(x)] ΔJ=J[y(x)+δy(x)]−J[y(x)]=L[y(x),δy(x)]+R[y(x),δy(x)] 泛函的一阶变分： δ J = L [ y ( x ) , δ y ( x ) ] \delta J=L[y(x),\delta y(x)] δJ=L[y(x),δy(x)] 泛函的变分也可以用下式进行计算： δ J = ∂ J [ y ( x ) + a δ y ( x ) ] ∂ a ∣ a = 0 \delta J=\frac{\partial J[y(x)+a\delta y(x)]}{\partial a}|_{a=0} δJ=∂a∂J[y(x)+aδy(x)]​∣a=0​

设泛函 J ( x ) = ∫ t 0 t f L [ x , x ˙ , t ] d t J(x)=\int^{t_f}_{t_0}L[x,\dot x,t]dt J(x)=∫t0​tf​​L[x,x˙,t]dt 欧拉方程为： ∂ L ∂ x − d d t ∂ L ∂ x ˙ = 0 \frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=0 ∂x∂L​−dtd​∂x˙∂L​=0 横截条件为： ∂ L ∂ x ˙ δ x ∣ t 0 t f = 0 {\frac{\partial L}{\partial \dot x}\delta x}|^{t_f}_{t_0}=0 ∂x˙∂L​δx∣t0​tf​​=0 固定端点： δ x ( t 0 ) = 0 , δ x ( t f ) = 0 \delta x(t_0)=0,\delta x(t_f)=0 δx(t0​)=0,δx(tf​)=0 两端自由： δ x ( t 0 ) ≠ 0 , δ x ( t f ) ≠ 0 \delta x(t_0)\not =0,\delta x(t_f)\not =0 δx(t0​)​=0,δx(tf​)​=0 ∂ L ∂ x ˙ ∣ t 0 = 0 ; ∂ L ∂ x ˙ ∣ t f = 0 \frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_0}=0;\frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_f}=0 ∂x˙∂L​∣t0​​=0;∂x˙∂L​∣tf​​=0

例如：始端固定，终端可沿着靶线 c ( t ) c(t) c(t)变动 欧拉方程不变 终端横截条件： L + [ C ˙ ( t ) − x ˙ ] ∂ L ∂ x ˙ ∣ t = t f = 0 {L+[\dot C(t)-\dot x]\frac{\partial L}{\partial \dot x}}|_{t={t_f}}=0 L+[C˙(t)−x˙]∂x˙∂L​∣t=tf​​=0 若终端固定，始端可沿着靶线 D ( t ) D(t) D(t)变动 则有 L − [ x ˙ − D ˙ ( t ) ] ∂ L ∂ x ˙ ∣ t = t 0 = 0 {L-[\dot x-\dot D(t)]\frac{\partial L}{\partial \dot x}}|_{t={t_0}}=0 L−[x˙−D˙(t)]∂x˙∂L​∣t=t0​​=0

终端条件改为 ∂ L ∂ x ˙ ∣ t f = − ∂ ϕ ( x ) ∂ x \frac{\partial L}{\partial \dot x}|_{t_f}=-\frac{\partial \phi(x)}{\partial x} ∂x˙∂L​∣tf​​=−∂x∂ϕ(x)​

1.写出约束方程： f ( x , u , t ) − x ˙ ( t ) = 0 f(x,u,t)-\dot x(t)=0 f(x,u,t)−x˙(t)=0 2.写出增广泛函： J ′ = ∫ t 0 t f { L ( x , u , t ) + λ T [ f ( x , u , t ) − x ˙ ] } d t J^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{L(x,u,t)+\lambda^T[f(x,u,t)-\dot x]\}dt J′=∫t0​tf​​{L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)−x˙]}dt 令 H = L ( x , u , t ) + λ T [ f ( x , u , t ) ] H=L(x,u,t)+\lambda^T[f(x,u,t)] H=L(x,u,t)+λT[f(x,u,t)]哈密顿函数 则 J ′ = ∫ t 0 t f { H − λ T [ x ˙ ] } d t J^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{H-\lambda^T[\dot x]\}dt J′=∫t0​tf​​{H−λT[x˙]}dt 3泛函极值的必要条件 哈密顿正则方程： x ˙ = ∂ H ∂ λ \dot x=\frac{\partial H}{\partial \lambda} x˙=∂λ∂H​ λ ˙ = − ∂ H ∂ x \dot \lambda=-\frac{\partial H}{\partial x} λ˙=−∂x∂H​ 控制方程 ∂ H ∂ u = 0 \frac{\partial H}{\partial u}=0 ∂u∂H​=0 横截条件 ( δ x ) T λ ∣ t 0 t f = 0 (\delta x)^T\lambda|^{t_f}_{t_0}=0 (δx)Tλ∣t0​tf​​=0 求最优控制的步骤 1.写出哈密顿函数 2.由控制方程 ∂ H ∂ u = 0 \frac{\partial H}{\partial u}=0 ∂u∂H​=0写出 u ∗ ( x , λ ) u^{*}(x,\lambda) u∗(x,λ) 3.将 u ∗ u^* u∗代入正则方程求出 x ∗ , λ ∗ x^*,\lambda^* x∗,λ∗ 4.利用边界条件定解

1.构造增广泛函 J ′ = ∫ t 0 t f { H − λ T [ x ˙ ] } d t + Φ [ x ( t f ) , t f ] + μ N [ x ( t f ) , t f ] J^{'}=\int ^{t_f}_ {t_0}\{H-\lambda^T[\dot x]\}dt+\Phi [x(t_f),t_f]+\mu N[x(t_f),t_f] J′=∫t0​tf​​{H−λT[x˙]}dt+Φ[x(tf​),tf​]+μN[x(tf​),tf​] 2.泛函极值的必要条件 正则方程控制方程如上 3.边界与横截条件

u满足不等式约束条件 g ( x , u , t ) ≥ 0 g(x,u,t)\geq 0 g(x,u,t)≥0 1.引入哈密顿函数 2.正则方程 x ˙ = ∂ H ∂ λ \dot x=\frac{\partial H}{\partial \lambda} x˙=∂λ∂H​ λ ˙ = − ∂ H ∂ x − ∂ g ∂ x γ \dot \lambda=-\frac{\partial H}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial x}\gamma λ˙=−∂x∂H​−∂x∂g​γ 3.对于最优控制u,H取绝对极小值 4.边界条件求解