一、K 凸函数的定义:
定义1
∀
a
,
b
>
0
\quad\forall~ a, b>0
∀ a,b>0
K
+
f
(
a
+
x
)
≥
f
(
x
)
+
a
{
f
(
x
)
−
f
(
x
−
b
)
b
}
K+f(a+x)\geq f(x)+a\Big\{\frac{f(x)-f(x-b)}{b}\Big\}
K+f(a+x)≥f(x)+a{bf(x)−f(x−b)} 定义2
∀
a
>
0
\quad\forall~ a>0
∀ a>0
K
+
f
(
a
+
x
)
−
f
(
x
)
−
a
f
′
(
x
)
≥
0
K+f(a+x)-f(x)-af'(x)\geq 0
K+f(a+x)−f(x)−af′(x)≥0 定义3
∀
0
<
μ
<
1
\quad\forall~ 0x∣f(x)≤f∗+K,x≤S} 注:
s
s
s 可能不在定义域内。
四、K-凸函数的相关性质
1.
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
A
,
s
]
[A, s]
[A,s] 上单调递减.
证明:当
x
<
s
xf(S)+K
f(x)>f(S)+K。令
x
+
a
=
S
x+a=S
x+a=S,则根据定义1 或定义 2,当
x
<
s
x |