概率测度及其关键属性 |
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概率测度的关键属性 摘要在这堂课中,我们介绍了概率理论的基本定义,包括概率测度和σ-代数。此外,还探讨了作为相对频率极限的概率概念,使用掷六面骰子的例子。通过相对频率函数,演示了如何通过极限得到概率测度,这就是所谓的“概率作为相对频率的极限”。介绍了概率测度的关键属性,并展示了如何通过有利案例与总案例来计算事件的概率。这些知识对于理解概率理论并在不同情境中进行决策至关重要。 学习目标: 完成这堂课后,学生将能够: 了解概率测度的定义及其基本属性。理解作为相对频率极限的概率概念。计算通过“有利案例与总案例的概率”来计算事件的概率。内容索引 基本定义 概率作为相对频率的极限 基本定义浓缩概率空间本质的部分正是概率测度的概念。这是最终量化某一事件发生可能性的函数。 一个概率测度 P 是这样一个函数,给定一个 σ-代数 \Sigma=(\Omega,\mathcal{A}),它为每个事件 E\in\mathcal{A} 分配一个概率。这个概率测度满足以下属性: (E\in \mathcal{A}) \rightarrow (0 \leq P(E) \leq 1)P(\Omega) = 1\left[E_1,_2 \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[ (E_1 \cap E_2 = \emptyset) \rightarrow \left(P\left(E_1 \cup E_2 \right) = P(E_1) + P(E_2) \right) \right]\displaystyle \left[E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \in \mathcal{A}\right] \rightarrow \left[P \left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim_{n\to\infty}P(E_n)\right] (连续性)![]() 这个概率概念可以通过“相对频率极限”的直观想法来理解。例如,考虑一个实验,把一个6面的骰子投掷N次。每次投掷的样本空间是\Omega_{1d6} = \{1,2,3,4,5,6\}。如果A是\Omega_{1d6}中的任意事件,那么我们可以测量事件A在N次投掷中发生的频率f_N(A)。这样做我们将验证到: 0 \leq f_N(A) \leq f_N(\Omega_{1d6}) = N, 如果我们考虑\Omega_{1d6}中的另一个任意事件B,那么将发生: (A\cap B = \emptyset ) \rightarrow (f_N(A\cup B) = f_N(A)+f_N(B) ) 基于此,我们可以定义一个新的“函数”g_N,我们称之为相对频率,通过以下表达式 g_N(A) = \displaystyle \frac{f_N(A)}{N} 我们注意到g_N函数符合前三个属性,只有第四个(连续性)属性不能以这种方式获得,但由于某些结果不能在没有这个属性的情况下获得,所以出于“技术”原因引入了这个属性。 即便如此,g_N还不是一个概率测度,因为它还不是一个函数。这是因为无论N的值如何,g_N并不总是必然给出一个唯一的值,就像一个函数所做的那样。为了解决这个问题,我们添加了一个极限步骤,最终得到一个概率测度,得到: \displaystyle P(A) = \lim_{N\to\infty} g_N(A) 这就是所谓的概率作为相对频率的极限。 例子:掷骰子继续分析掷一个6面骰子的情况, 我们会发现: \displaystyle\left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\}\right) \left( g_N(\{x\}) = \frac{f_N(\{x\})}{N}\right) 如果实验重复多次,我们可以验证 \displaystyle \left(\forall x\in\{1,2,3,4,5,6\} \right) \left( \lim_{N \to \infty} g_N(\{x\}) = \displaystyle \frac{1}{6} \right) \displaystyle \lim_{N \to \infty} g_N(\Omega_{1d6}) = 1 因此,如果我们定义P(\{x\}) = \lim_{N\to\infty} g_N(\{x\}),那么将发生: \displaystyle P(x=\{1,3,5\}) = P(\{1\}\cup\{3\}\cup\{5\}) = P(\{1\})+P(\{3\})+P(\{5\}) = \frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \frac{1}{2} 从这个例子中我们也可以简单地推断出,给定一个样本空间\Omega中的事件E \displaystyle P(E) = \frac{\# E}{\# \Omega} 这就是所谓的“概率作为有利情况与总情况之比”,这对于理解概率空间和概率测度的大量推理至关重要。 |
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