前置知识：定积分的计算（牛顿-莱布尼茨公式）

计算 ∫ 0 2 ( x 2 − 2 x + 3 ) d x \int_0^2(x^2-2x+3)dx ∫02​(x2−2x+3)dx 解： \qquad 原式 = ( 1 3 x 3 − x 2 + 3 x ) ∣ 0 2 = ( 8 3 − 4 + 6 ) − 0 = 14 3 =(\dfrac 13x^3-x^2+3x)\bigg\vert_0^2=(\dfrac 83-4+6)-0=\dfrac{14}{3} =(31​x3−x2+3x) ​02​=(38​−4+6)−0=314​

计算 ∫ 0 2 π ∣ sin ⁡ x ∣ d x \int_0^{2\pi}|\sin x|dx ∫02π​∣sinx∣dx

解： \qquad 原式 = ∫ 0 π sin ⁡ x d x − ∫ π 2 π sin ⁡ x d x =\int_0^{\pi}\sin xdx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin xdx =∫0π​sinxdx−∫π2π​sinxdx

= − cos ⁡ x ∣ 0 π + cos ⁡ x ∣ π 2 π \qquad\qquad =-\cos x\bigg\vert_0^{\pi}+\cos x\bigg\vert_{\pi}^{2\pi} =−cosx ​0π​+cosx ​π2π​

= 1 + 1 + 1 + 1 \qquad\qquad =1+1+1+1 =1+1+1+1

= 4 \qquad\qquad =4 =4

计算 ∫ 0 π 1 − sin ⁡ 2 x d x \int_0^{\pi}\sqrt{1-\sin 2x}dx ∫0π​1−sin2x ​dx

解： \qquad 原式 = ∫ 0 π 1 − ( cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x ) d x =\int_0^{\pi}\sqrt{1-(\cos^2x-\sin^2x)}dx =∫0π​1−(cos2x−sin2x) ​dx

= 2 ∫ 0 π sin ⁡ 2 x d x = 2 ∫ 0 π sin ⁡ x d x \qquad\qquad =\sqrt 2\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^2 x}dx=\sqrt 2\int_0^{\pi}\sin xdx =2 ​∫0π​sin2x ​dx=2 ​∫0π​sinxdx

= − 2 cos ⁡ x ∣ 0 π = − 2 ⋅ ( − 1 − 1 ) = 2 2 \qquad\qquad =-\sqrt 2\cos x\bigg\vert_0^{\pi}=-\sqrt 2\cdot (-1-1)=2\sqrt 2 =−2 ​cosx ​0π​=−2 ​⋅(−1−1)=22 ​

只要熟练掌握不定积分的求法，就能熟练地解决这类题目。