（2）多层树状图就是研究三个以上的事件，用多层树状结构表示出所有的可能情况。画多层树状图的基本步骤是：先把可能情况最少的事件作为第一层，再与下一事件组合，画出第二层和第三层，最后有条理地罗列出所有的可能，形成树状图。如本书第26页例6的题意分析图。

典例精讲

方法点一 画双层树状图解搭配、组合问题

例1 食堂午餐食谱如下，一菜一饭可以有多少种不同的搭配？

2种主食：米饭、馒头

3种副食：白菜、豆腐、芹菜

先从主食中任选一种，再分别与3种副食搭配，画出树状图，枚举出所有可能的组合。

由上图可知，米饭与不同副食的搭配有3种，馒头与不同副食的搭配也有3种，一饭一菜可以有6种不同的搭配。

2种主食与3种副食，一菜一饭可以有6种不同的搭配。

总结：用树状图可以直观、清晰地呈现出所有可能的情况，避免重复或遗漏。

例2 科学课上，老师把4名同学分到了一个小组开展实验，这4名同学要彼此拍一次手，表示相互鼓励。4名同学一共要拍手多少次？

分别用A、B、C、D表示这4名同学，由于自己不能与自己拍手，所以A只能与B、C、D组合，B只能与A、C、D组合，C只能与A、B、D组合，D只能与A、B、C组合（如图一所示），将所有可能的情况列出来，形成完整的树状图（如图二所示）。

上图中共有12种排列方式，但有重复出现的，如（A，B）与（B，A）都表示A、B两人拍一次手，要去掉其中的一个。把重复的筛选下去，则剩下（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D）6种不同的组合。

4名同学一共要拍手6次。

提示：画树状图解组合问题时，不用区分先后顺序，要把重复的搭配筛选掉。

方法点二 画双层树状图解可能性问题

例3 小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清就随便穿了两只。小明正好穿的是同一双袜子的可能性是多少？

假设这两双袜子分别为A双和B双，则这四只袜子可分别表示为A1、A2、B1、B2。小明穿上的第一只袜子可能是4只中的任意一只（如图一所示），在穿第二只时，则可能是剩下三只中的任意一只（如图二所示）。

两次组合的结果只有（A1，A2）或（B1，B2）组合时才能是同一双袜子。由上面的树状图可知，两双袜子在一起的组合共有12种，其中有4种情况是同一双袜子。

小明正好穿的是同一双袜子的可能性是，也就是。

提示：画第二层时要分别与第一层中可能出现的情况一一组合，形成树状结构。

例4 骰子的六个面上分别标有1到6的点数，随机掷两枚骰子，则这两枚骰子向上一面的点数都是奇数的可能性是多少？

第一枚骰子向上一面的点数可能是1，2，3，4，5，6，所以第一层应画6个分叉；第二枚骰子向上一面的点数可能是6个中任意一个，所以第二层应接在第一层的6个分叉上，再画6个分叉。画出的树状图上共有6×6种情况，从中找出两个骰子向上一面的点数都是奇数的情况，再求出可能性。

从图中可以看出，两枚骰子向上一面的点数共有36种情况，其中向上一面的点数都是奇数的情况有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1）（5，3）（5，5）共9种情况。

这两枚骰子向上一面的点数都是奇数的可能性是，也就是。

提示：画树状图的关键：一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。

方法点三 画多层树状图解稍复杂的可能性问题

例5 同时掷三枚硬币，求下列事件发生的可能性。

（1）三枚硬币全部正面朝上。

（2）两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。

（3）至少有两枚硬币正面朝上。

第①枚硬币可能是正面或反面朝上，所以树状图的第一层应画2个分叉（如图一）；第②枚硬币也有两种可能，与前一枚硬币组合后，有4种可能的结果，所以树状图的第二层要画4个分叉（如图二）；以此类推，树状图的第三层要画8个分叉（如图三）。

由上图可知，同时掷三枚硬币可能出现的结果有8种，三枚硬币全部正面朝上的结果有1种；两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的结果有3种；至少有两枚硬币正面朝上的结果有4种。

（1）三枚硬币全部正面朝上的可能性为。

（2）两枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的可能性为。

（3）至少有两枚硬币正面朝上的可能性为，即。

提示：利用树状图可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的可能性。

例6 如下图所示，甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母A、B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别标有字母C、D、E；丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别标有字母H、I，从3个口袋中各随机取出1个小球。

（1）取出的3个小球中，恰好都标有元音字母的可能性是多少？

（2）取出的3个小球中，全是辅音字母的可能性是多少?

从甲、乙、丙3个口袋中各随机取出一个小球进行组合，可按下面的步骤进行：先从甲口袋中任取一球，有2种可能（如图一）；再从乙口袋中任取一球，有3种可能，与甲口袋组合后则有（3×2）种可能（如图二）；最后从丙口袋中任取一球，有2种可能，与前面的进行组合，此时共有（3×2×2）种可能（如图三）。

从树状图中可以看出,所有可能出现的结果有12种,这些结果出现的可能性相等,其中只有1个结果全是元音字母（AEI），有2个结果全是辅音字母（BCH、BDH）。

（1）取出的3个小球中，恰好都标有元音字母的可能性是。

（2）取出的3个小球中，全是辅音字母的可能性是，即。

提示：当一次试验要涉及3个或更多个事件时,为了不重、不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法。

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