某学院有3个系共200名学生，其中甲系103人，乙系63人，丙系34人，分配20个院学生会主席团席位，如何分配才公平？如果分配21个，该如何分配呢？

最先想到的方法就是按比例分配。甲、乙、丙三系人数分别占总学生数的51.5%、31.5%、17%。

在分配20个学生会主席团席位时，分到的人数应分别是10.3、6.3、3.4。因为人数不能是小数，将人数向下取整，则分到的人数分别是10、6、3，这时候还余下一个席位，将这个席位分给在向下取整过程中损失最多的丙。最终分配结果为10、6、4。

在分配21个学生会主席团席位时，分到的人数应分别是10.815、6.615、3.57。因为人数不能是小数，将人数向下取整，则分到的人数分别是10、6、3，这时候还余下两个席位，将这个席位分给在向下取整过程中损失最多的两个系，也就是甲和乙。最终分配结果为11、7、3。

我们会发现，学生会主席团的席位变多之后，丙系分配到的席位数反而减少了。可见，将按比例取整损失作为目标函数并非是最佳的方案。

我们知道一个主席团中来自不同系的成员分别代表了自己系的利益。主席团中来自本系的成员越少，本系的学生越多，主席团中一个成员需要代表的学生就越多，对这个系来说就越不公平，这也是我们在直观上选择按比例分配的最基本原因。如果我们贯彻这个初衷，将一个成员代表学生数作为我们的目标函数，将取整过程中多出的席位分配给目标函数值高的系，可以更公平地解决这个问题。

设总学生数为N，总共有I个系，每个系的学生数为 N i N_i Ni​(i=1,2,…,I)，学生会主席团席位为n个，则每个系应当分到的席位数为 N i N ⋅ n \frac{N_i}{N}·n NNi​​⋅n，设这个值为 a i a_i ai​，则每个席位代表的学生数为 f i = N i a i f_i=\frac{N_i}{a_i} fi​=ai​Ni​​。对 a i a_i ai​向下取整，并将 N i N_i Ni​用 a i a_i ai​表示，得 f i = N n ⋅ a i [ a i ] f_i=\frac{\frac{N}{n}·a_i}{[a_i]} fi​=[ai​]nN​⋅ai​​，用 a i {a_i} ai​表示 a i a_i ai​的小数部分，则有 f i = N n ⋅ [ a i ] + N n ⋅ { a i } [ a i ] = N n ⋅ ( 1 + { a i } [ a i ] ) f_i=\frac{\frac{N}{n}·[a_i]+\frac{N}{n}·\{a_i\}}{[a_i]}=\frac{N}{n}·(1+\frac{\{a_i\}}{[a_i]}) fi​=[ai​]nN​⋅[ai​]+nN​⋅{ai​}​=nN​⋅(1+[ai​]{ai​}​)。易知这个目标函数的值只与 { a i } [ a i ] \frac{\{a_i\}}{[a_i]} [ai​]{ai​}​有关。进行按比例向下取整分配后，多出来的席位(假设有m个)应当被平均分配给该目标函数值前m高的系。

用python实现以上算法，输入系的个数、每个系的人数、学生会的名额，给出每个系的a值、f值和分配方案：

输入3、103、63、34、20时，输出结果为： 输入3、103、63、34、21时，输出结果为：

依旧还是基于平均每席位代表学生数来衡量公平性。对于空余的席位，我们将它们一个个依次分配给每个系，则对于分配到新席位的系，假设其人数为 N i N_i Ni​，原本的席位数为 n i n_i ni​，它的平均每席位代表学生数 a i a_i ai​就会由 N i n i \frac{N_i}{n_i} ni​Ni​​变成 N i n i + 1 \frac{N_i}{n_i+1} ni​+1Ni​​。

我们知道公平是相互参考的，现在用Q值来衡量两个系之间相互参考下不公平的程度。设有两系i系和j系，如果 a i a_i ai​> a j a_j aj​，则分配方案对i系不公平，其相对不公平程度为 a i − a j a j \frac{a_i-a_j}{a_j} aj​ai​−aj​​。如果 a i a_i ai​ a j a_j aj​，则分配后依然对i系不公平，分配肯定成立如果把席位分配给i系后 a i a_i ai​ a j a_j aj​，则分配后对i系不公平。不公平程度为 N i n i − N j n j + 1 N j n j + 1 \frac{\frac{N_i}{n_i}-\frac{N_j}{n_j+1}}{\frac{N_j}{n_j+1}} nj​+1Nj​​ni​Ni​​−nj​+1Nj​​​如果把席位分配给j系后 a i a_i ai​