偏导数（简明微积分） |
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偏导数（简明微积分）
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贡献者： addis; 钱昭霖; ACertainUser; EienMiku 预备知识 导数对一个多元函数 $y = f(x_1, x_2 \dots x_i \dots)$，如果求导时只把 $x_i$ 看成自变量，剩下的 $x_{j \ne i}$ 都看做常数，得到的导数就叫函数（关于 $x_i$）的偏导数。以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例，对 $x$ 的偏导数常可记为以下几种表达式的其中之一： \begin{equation} \frac{\partial z}{\partial x} ~, \qquad \frac{\partial f}{\partial x} ~, \qquad f_x~, \qquad \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) _y~. \end{equation} 最后一种记号在括号右下角声明函数中所有保持不变的自变量，这在一些情况下能避免混淆（见子节 2 ）。 例 1对于函数 $f(x,y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy$，两个偏导数分别为 \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y~, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 2x~. \end{equation} 例 2对于函数 $z = \sin\left(y\cos x\right) + \cos ^2 x$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - 2\cos x\sin x = - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - \sin 2x~,\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \cos\left(y\cos x\right) \cos x~. \end{aligned} \end{equation} 1. 几何意义
图 1：偏导数
类比导数的几何意义（曲线的斜率），若在三维直角坐标系中画出曲面 $f(x,y)$，则 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率。所以从某点 $(x_0, y_0)$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $\Delta x$，假设曲面平滑，则函数值增加 \begin{equation} \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x~, \end{equation} 写成微分关系就是 \begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \qquad (y\, \text{不变})~. \end{equation} 2. 通用函数名物理中常常会出现一种容易混淆的情况，就是当一个因变量可以有几套自变量（例如上面的 $z(u,v)$ 和 $z(x,y)$）时，通常直接用因变量（$z$）作为函数名而另外不定义函数名（$f$）。然而 $z(u,v)$ 与 $z(x,y)$ 中的 $z$ 并不是同一个函数。以下举例说明 例 3在二维直角坐标系中，定义一个曲面的方程为 \begin{equation} z=f(x,y)=x^2+y^2+2x~, \end{equation} 而若用极坐标的方程描述该曲面，则函数变为 \begin{equation} z = g(r,\theta) = f(r\cos \theta, r\sin \theta ) = r^2 + 2r\cos \theta~. \end{equation} 但许多物理书为了方便并不用 $f$ 和 $g$ 区分两个不同的函数，而是使用 $z(x,y)$ 表示式 6 和 $z(r,\theta)$ 表示式 7 。这样后者就有可能被误解为 \begin{equation} z(r,\theta) = r^2+\theta^2+2r \quad \text{(错)}~. \end{equation} 这就需要从语境中判断是否使用了通用函数名1。使用通用函数名时，要注意从语境中判断偏导数使用的是哪一套变量，例如 $ \partial z/\partial x $ 一般默认使用 $z(x,y)$ 求偏导，即把 $y$ 看成常数；$ \partial z/\partial r $ 一般默认使用 $z(r,\theta)$ 求偏导，即把 $\theta$ 看成常数。或者为了明确起见可以分别把两种情况记为式 1 中的最后一种形式 \begin{equation} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) _y~, \qquad \left( \frac{\partial z}{\partial r} \right) _\theta~. \end{equation} 这样，把求偏导的变量和括号外的变量就是函数的自变量。再看一种更复杂的情况，如 \begin{equation} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) _\theta~. \end{equation} 按照上述定义，应该是仅用 $x$ 和 $\theta$ 表示 $z$，然后求偏导。考虑极坐标系和直角坐标系的转换（子节 1 ），有 $y=x\tan\theta$，代入式 6 得 \begin{equation} z(x,\theta) = x^2(1+\tan^2 \theta) + 2x~, \end{equation} 现在再对 $x$ 求偏导即可（过程略）。 3. 高阶偏导与一元函数的高阶导数类似，多元函数也可以求高阶偏导数，不同的是，由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量。例如二元函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导有： \begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} ~, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ~, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} ~, \qquad \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} ~. \end{equation} 若高阶偏导的分母中出现不止一个变量，我们就称其为混合偏导。混合偏导的一个重要性质就是当函数的任意混合偏导均在某点 $M_0$ 连续时，偏导的顺序可以任意改变，例如上式中有 $ \partial^2 f/\partial x \partial y = \partial^2 f/\partial y \partial x $。 以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例，证明其混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $M_0(x_0,y_0)$ 连续时，$f_{xy}|_{M_0}=f_{yx}|_{M_0}$。未完成：这个证明不应该出现在简明微积分 证： 考虑差商 \begin{equation} I=\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]-[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]}{\Delta x\Delta y}\\~. \end{equation} 设 \begin{equation} \begin{aligned} &\qquad\varphi(x)=f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)~,\\ &\qquad\psi(y)=f(x_0+\Delta x,y)-f(x_0,y)~,\\ \end{aligned} \end{equation} 那么利用微分中值定理可得 \begin{equation} \begin{aligned} &I=\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]-[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{\varphi(x_0+\Delta x)-\varphi(x_0)}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{\varphi'(x_0+\alpha_1\Delta x)\Delta x}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{f_x(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\Delta y)-f_x(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0)}{\Delta y}\\ &\ \ =f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)\qquad(0 同理，将 $I$ 重新组合可以得到 \begin{equation} \begin{aligned} &I=f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)\qquad(0 因此 \begin{equation} \begin{aligned} &\qquad f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)=f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)~.\\ \end{aligned} \end{equation} 利用两个混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续的条件，得到 \begin{equation} \begin{aligned} &f_{xy}(x_0,y_0)=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)\\ &\qquad\qquad\ =\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)\\ &\qquad\qquad\ =f_{yx}(x_0,y_0)~. \end{aligned} \end{equation} 1. ^ “通用函数名” 是笔者起的名字，不清楚是否有其他叫法 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
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