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定积分曲线的长度极坐标公式推导过程

在极坐标系下，

一条曲线可以表示为

$r 

= 

f(theta)$

，

其中

$r$

表

示极径，

$theta$

表示极角。要求该曲线的长度，我们可以将其划分

为若干个线段，并对每个线段进行长度求和，即：

    $$L = 

int_{theta_1}^{theta_2}sqrt{r^2+(frac{dr}{dtheta})^2}dtheta

$$ 

其中，

$frac{dr}{dtheta}$

表示

$r$

对

$theta$

的导数。

我们需要

将其化简为极坐标下的公式。

首先，我们可以利用

$r^2 = x^2+y^2$

和

$x = rcostheta, y = 

rsintheta$

将

$r$

和

$frac{dr}{dtheta}$

表示为

$x,y$

的导数：

    $$r = sqrt{x^2+y^2}$$ 

    $$frac{dr}{dtheta} = frac{partial r}{partial 

x}frac{dx}{dtheta}+frac{partial r}{partial 

y}frac{dy}{dtheta}=costhetafrac{partial r}{partial 

x}-rsintheta=costhetafrac{x}{r}-rsintheta$$ 

将上述式子带入到原式中，得到：

$$L=int_{theta_1}^{theta_2}sqrt{x^2+y^2+(costhetafrac{x}{r}

-rsintheta)^2}dtheta$$ 

化简后可得：