考虑有一不变量 V ，它在某坐标系下的表达为 v^{i}g_{i} 。设 V 在坐标 x 处为 v^{i}g_{i} ，在 \left( x+dx \right) 处为 v^{'i}g_{'i} ，那么有

dV=v^{'i}g_{'i}-v^{i}g_{i}=\frac{\partial V}{\partial x^{j}}dx^{j}=\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( v^{i}g_{i} \right)dx^{j}=\left[ \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}g_{i}+v^{i}\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( g_{i} \right) \right]dx^{j}

在文章

中，根据基矢量的协变导数为0，得到下式

\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right)=\Gamma_{ij}^{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}

也即

\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( g_{i} \right)=\Gamma_{ij}^{k}g_{k}

代入到 dV 的表达式中，得到

v^{'i}g_{'i}-v^{i}g_{i}=\left( \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}g_{i}+v^{i}\Gamma_{ij}^{k}g_{k} \right)dx^{j}=\left( \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}g_{i}+v^{k}\Gamma_{kj}^{i}g_{i} \right)dx^{j}

也就是

v^{'i}g_{'i}-v^{i}g_{i}=\left( \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}+v^{k}\Gamma_{kj}^{i}dx^{j} \right)g_{i}

这个式子的意义很明显，左边是 \left( x+dx \right) 处的 V 与 x 处的 V 的差，右边是这个差在 g_{i} （ x 处的基矢）上的分量乘以 g_{i} ，也就是把这个差放到 x 处就是 v^{'i}g_{'i}-v^{i}g_{i}=\left( \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}+v^{k}\Gamma_{kj}^{i}dx^{j} \right)g_{i} ，换句话说，在 x 处 v^{'i}g_{'i} 就是

v^{i}g_{i}+\left( \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}+v^{k}\Gamma_{kj}^{i}dx^{j} \right)g_{i}=\left( v^{i}+\frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}+v^{k}\Gamma_{kj}^{i}dx^{j} \right)g_{i}

总而言之， \left( x+dx \right) 处的 v^{'i}g_{'i} 被拉到了 x 处，建立了 x 处的 v^{i}g_{i} 和 \left( x+dx \right) 处的 v^{'i}g_{'i} 的联系，它们本来在不同的两点，但现在可以把它们放在同一点处比较。这就是协变导数的作用。

可以看到，是 \frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( g_{i} \right)=\Gamma_{ij}^{k}g_{k} 建立了两不同点处的联系，或者改写为

d\left( g_{i} \right)=\frac{\partial}{\partial x^{j}}\left( g_{i} \right)dx^{j}=\Gamma_{ij}^{k}g_{k}dx^{j}=\left( \Gamma_{ij}^{k}dx^{j} \right)g_{k}

即

d\left( g_{i} \right)=\left( \Gamma_{ij}^{k}dx^{j} \right)g_{k}

显然，这个式子意思就是把 g_{'i} 与 g_{i} 的差 d\left( g_{i} \right) 拉到 g_{i} 处表达为 \left( \Gamma_{ij}^{k}dx^{j} \right)g_{k} ，从而实现 g_{'i} 在 g_{i} 处的表达，这样就可以比较不同点处的矢量了。

更一般的，在流形上每一点都有切空间，本来这些切空间是没有联系的，但为了比较不同的切空间中的量，就需要建立不同点的切空间之间的联系，这种联系称为联络， d\left( g_{i} \right)=\left( \Gamma_{ij}^{k}dx^{j} \right)g_{k} 就是一种联络，若流形是黎曼流形，且 \Gamma_{ij}^{k} 是Christoffel符号，那么这个联络叫做Levi-Civita联络，根据 \Gamma_{ij}^{k} 的推导过程，可知Levi-Civita联络保持黎曼度量（两点间的距离）不变。