本文是IIR数字滤波器设计，如果需要了解模拟滤波器或者FIR的内容，可以看我写的另外两篇博客，如下：

1.巴特沃斯模拟滤波器（低通，高通，带通，带阻）设计-MATLAB实现

3.MATLAB实现有限脉冲响应数字滤波器（FIR）

我们首先明确一个知识（这个非常重要）：

某正弦信号，频率为50Hz 这意味着 信号的模拟频率 f f f= 50 (Hz)，注意它的单位是Hz

信号的表达式为 y = s i n ( 2 π f t ) = s i n ( 2 π ∗ 50 t ) = s i n ( 100 π t ) y = sin(2\pi ft)=sin(2\pi *50 t)=sin(100\pi t) y=sin(2πft)=sin(2π∗50t)=sin(100πt)

由于信号也可以表示为 y = s i n ( Ω t ) y = sin(\Omega t) y=sin(Ωt)的形式，所以这里 Ω = 2 π f = 100 π \Omega=2\pi f=100\pi Ω=2πf=100π

这里的 Ω \Omega Ω 是模拟角频率，它的单位是rad/s。

注意模拟角频率 Ω \Omega Ω 和模拟频率 f f f的关系 Ω = 2 π f \Omega=2\pi f Ω=2πf

上面的信号都是模拟信号，接着对信号采样（采样频率 F s F_s Fs​ ）得到一个数字频率 ω \omega ω ，它是模拟角频率 Ω \Omega Ω 对采样频率 F s F_s Fs​ 归一化得到的，即

ω = Ω F s \omega = \frac \Omega F_s ω=FΩ​s​

注意数字频率 ω \omega ω 的单位是 rad

所以原始信号 f = 50 H z f=50Hz f=50Hz，采样频率 200 H z 200Hz 200Hz 的话，有 模拟频率 f f f = 50（Hz）

模拟角频率 Ω = 100 π （ r a d / s ） \Omega = 100 \pi（rad/s） Ω=100π（rad/s） 数字频率 ω = Ω F s = 0.5 π （ r a d ） \omega = \frac \Omega F_s=0.5\pi（rad） ω=FΩ​s​=0.5π（rad） 对 π \pi π 归一化数字频率 w = 0.5 （ r a d ） w = 0.5 （rad） w=0.5（rad）

注意！！！ 模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω \Omega Ω 数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w w w

模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω \Omega Ω 数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w w w

模拟滤波器设计中用的频率是指模拟角频率 Ω \Omega Ω 数字滤波器设计中用的频率是指归一化数字角频率 w w w

数字滤波器特点：

输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，我们需要通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号。

数字滤波器的频率响应函数为 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw) ，它可以用下式表示：

H ( e j w ) = ∣ H ( e j w ) ∣ e j θ ( w ) H(e^{jw}) = |H(e^{jw})| e^{j\theta(w)} H(ejw)=∣H(ejw)∣ejθ(w)

∣ H ( e j w ) ∣ |H(e^{jw})| ∣H(ejw)∣ - 系统的幅频特性 :表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况

θ ( w ) \theta(w) θ(w) - 系统的相频特性 - 反映各频率成分通过滤波器后各频率成分的相位变化情况（时延情况）

数字滤波器可以分为：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器、有限脉冲响应(FIR)数字滤波器两种 我们一般使用IIR即可，因为它设计起来较为方便，当某个滤波器要求线性相位时，我们才使用FIR。

对IIR滤波器，我们一般采用间接法来设计，即先按照参数设计好一个模拟滤波器，然后将其变换为数字滤波器，因为模拟滤波器的理论和设计方法比较成熟。

对FIR滤波器，我们一般采用窗函数设计法。

该函数用于求解巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc

输入参数如下：

通带边界数字频率wp、阻带边界模拟频率ws（对pi归一化数字角频率，单位是rad）

通带最大衰减Rp、阻带最小衰减As（单位是dB）

注：因为设计的是数字滤波器时，所以没有’s’这个参数了。

举例：原始信号 f f f=50Hz，采样频率 F s F_s Fs​=200Hz的话，有 模拟频率 f f f= 50（Hz） 模拟角频率 Ω = 100 π \Omega = 100 \pi Ω=100π （rad/s） 数字频率 ω = Ω F s = 0.5 π （ r a d ） \omega = \frac \Omega F_s=0.5\pi（rad） ω=FΩ​s​=0.5π（rad） 对 π \pi π 归一化数字角频率 w w w =0.5

所以函数输入参数 wp和ws的大小都在[0,1]之间。

该函数用于求解N阶巴特沃斯数字滤波器的具体参数B和A，求解完B和A后滤波器就设计完成了。

输入参数如下： N - 滤波器阶数 wc - 3dB截止数字频率wc （单位rad，N和wc都是用buttord函数计算出来的）

ftype - 滤波器类型‘’：

当输入wc为一维向量时： 设计低通滤波器时ftype不填，设计高通滤波器的话令ftype=high

当输入wc为二维向量[wcl,wcu]时： 设计带通滤波器时ftype不填，设计带阻滤波器的话令ftype=stop

这个就是滤波函数了，x是输入的有噪声的信号，B，A就是设计好的滤波器参数，得到的输入y就是滤波后的信号了。

例： 设计数字低通滤波器，wp = 0.2 π \pi π rad,Rp = 1 dB, ws = 0.3 π \pi π rad, As = 15 dB，采样频率1Hz。

求解这个问题我们需要用到以下两个函数：

注意！！！ 函数涉及到的频率都是对 pi 归一化后的数字角频率，单位是rad

所以 wp = 0.2 pi / pi = 0.2 ws = 0.3 pi / pi = 0.3

代码如下

至此，数字低通滤波器设计完成了，如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

得到的结果如下所示：

例： 设计数字低通滤波器，wp = 0.3 π \pi π rad,Rp = 1 dB, ws = 0.2 π \pi π rad, As = 15 dB.采样频率1Hz。

求解这个问题我们需要用到以下两个函数：

函数涉及到的频率都是对 π \pi π 归一化后的数字角频率，单位是rad

所以wp = 0.3 pi / pi = 0.3 ws = 0.2 pi / pi = 0.2

代码如下：

至此，数字高通滤波器设计完成了， 如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字高通滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

结果如下：

例： 设计数字带通滤波器，采样频率Fs = 8kHz，保留2025 - 2225 Hz的部分，幅度失真小于1dB，滤除1500Hz以下和2700Hz以上部分的噪声，衰减大于40dB。

数字频率 ω = Ω F s = 2 π f F s \omega = \frac \Omega F_s = \frac{2\pi f}{F_s} ω=FΩ​s​=Fs​2πf​

对pi归一化后

wpl = 2 pi * 2025 / 8000 / pi, wpu = 2 pi * 2225 / 8000 / pi 即wp = [2 fpl / Fs, 2 fpu / Fs]

wsl = 2 pi * 1500/ 8000 / pi, wsu = 2 pi * 2700/ 8000 / pi 即ws = [2 fsl / Fs, 2 fsu / Fs]

代码如下：

至此，数字带通滤波器设计完成了，如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字带通滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

画图结果如下：

例： 设计数字带阻滤波器，采样频率Fs = 8kHz，保留1500Hz以下和2700Hz以上部分的部分，幅度失真小于1dB，滤除2025 - 2225 Hz的噪声，衰减大于40dB。

数字频率 ω = Ω F s = 2 π f F s \omega = \frac \Omega F_s = \frac{2\pi f}{F_s} ω=FΩ​s​=Fs​2πf​

对pi归一化后

wpl = 2 pi * 1500/ 8000 / pi, wpu = 2 pi * 2700/ 8000 / pi

即wp = [2 fpl / Fs, 2 fpu / Fs]

wsl = 2 pi * 2025/ 8000 / pi, wsu = 2 pi * 2225/ 8000 / pi

ws = [2 fsl / Fs, 2 fsu / Fs]

代码如下：

至此，数字带阻滤波器设计完成了，如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字带阻滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

画图结果如下：

例： 设计数字低通滤波器，wp = 0.2 pi rad,Rp = 1 dB, ws = 0.35 pi rad, As = 10 dB.采样频率1Hz。

首先求出模拟滤波器的参数，

由 ω = Ω F s \omega = \frac \Omega F_s ω=FΩ​s​ 可知 模拟角频率 Ω = ω F s \Omega = \omega F_s Ω=ωFs​

所以 Ω p = ω p F s = 0.2 π ( r a d / s ) \Omega_p = \omega_p F_s = 0.2\pi (rad/s) Ωp​=ωp​Fs​=0.2π(rad/s)

Ω s = ω s F s = 0.35 π ( r a d / s ) \Omega_s = \omega_s F_s = 0.35\pi (rad/s) Ωs​=ωs​Fs​=0.35π(rad/s)

按照这两个参数设计模拟低通滤波器

至此，脉冲响应不变法的数字低通滤波器设计完成了

如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

结果如下：

例： 设计数字低通滤波器，频率低于0.2 π \pi π rad时，衰减小于1dB，频率大于0.3 π \pi π 时衰减大于15dB。

利用 Ω = 2 T t a n ( w 2 ) \Omega = \frac{2}{T} tan(\frac{w}{2}) Ω=T2​tan(2w​) 计算得到模拟角频率

Ω p = 2 T t a n ( w p 2 ) \Omega_p = \frac{2}{T} tan(\frac{w_p}{2}) Ωp​=T2​tan(2wp​​)

Ω s = 2 T t a n ( w s 2 ) \Omega_s = \frac{2}{T} tan(\frac{w_s}{2}) Ωs​=T2​tan(2ws​​)

然后设计模拟滤波器，再转化为数字滤波器

滤波器设计代码如下：

至此，双线性变换法的数字低通滤波器设计完成了

如果有输入噪声信号x的话，调用y = filter(B,A,x)，得到的y就是滤波后的信号了。

接着我们画出数字低通滤波器的幅频特性曲线，代码如下：

绘图结果如下：